Otwórz menu główne
Nieformalnie miara przypisuje zbiorom nieujemne liczby rzeczywiste tak, by większym zbiorom odpowiadały większe liczby.

Miara – funkcja określająca „wielkości” mierzalnych podzbiorów ustalonego zbioru poprzez przypisanie im liczb nieujemnych bądź nieskończoności przy założeniu, że zbiór pusty ma miarę zero, a miara sumy zbiorów rozłącznych jest sumą ich miar.

Pojęcie miary wyrosło z ogólnego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue’a nad jego miarą.

Na danym zbiorze można określać różne miary.

Np. załóżmy, że mamy 10 odróżnialnych kostek do gry w różnych kolorach. Wtedy możemy zdefiniować miary:

(1) miara określająca liczby kostek o kolorze czerwonym w zadanych podzbiorach zbioru kostek,

(2) miara prawdopodobieństwa, np. określająca prawdopodobieństwo wyrzucenia podczas rzutu 10 kostek sumarycznej liczby oczek większej niż 30,

(3) miara Diraca określająca, czy dany podzbiór kostek posiada ustaloną kostkę

itp.

Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o strukturze bardziej skomplikowanej niż przedziały na prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się w teorii prawdopodobieństwa i w różnych działach analizy matematycznej.

Czasem jest niemożliwe lub niepotrzebne przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego w definicji miary bierze się pod uwagę zbiory należące do σ-ciała danego zbioru.

Własnościami miar zajmuje się teoria miary, będąca gałęzią analizy matematycznej. Teoria miary bada σ-ciała, miary, funkcje mierzalne oraz całki.

Definicja miaryEdytuj

Niech   będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru   Funkcję

 

nazywamy miarą, gdy

 
 

dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych  

Parę   nazywamy przestrzenią mierzalną, natomiast trójkę  przestrzenią z miarą.

Miary, które spełniają warunek

 

nazywamy miarami probabilistycznymi. Miary tego rodzaju są zasadniczym pojęciem w nowoczesnej teorii prawdopodobieństwa.

Miara   określona jest na zbiorach należących do σ-ciała   a nie na dowolnych podzbiorach przestrzeni   – w ten sposób unika się problemu z miarą na zbiorach niemierzalnych w   jak np. zbiór Vitalego.

Elementy σ-ciała   nazywa się zbiorami  -mierzalnymi względem  

Własności miaryEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z miarą oraz niech   ciągiem elementów w  

  • Monotoniczność: Jeśli   oraz   to  
  • Podaddytywność:
 
  • Jeżeli   oraz   to
 
  • Ciągłość z dołu: jeśli   dla każdej liczby   to
 
  • Ciągłość z góry: jeśli   oraz   to
 

Uwaga:

Powyższa własność jest fałszywa bez założenia o skończoności miary przynajmniej jednego zbioru   Istotnie, niech

 

wszystkie zbiory   są miary nieskończonej, ale

 

PrzykładyEdytuj

Do ważnych przykładów miar należą:

Także całki są miarami, np.

Do innych ważnych rodzajów zalicza się miary: ergodyczną, Eulera, Gaussa, Baire’a

Miary skończone i σ-skończoneEdytuj

Osobny artykuł: miara σ-skończona.

Jeśli   jest przestrzenią z miarą   to miarę   nazywa się

  1. skończoną, gdy  
  2. σ-skończoną (albo półskończoną), gdy możliwe jest przedstawienie przestrzeni   jako przeliczalnej sumy zbiorów miary skończonej, tzn. gdy istnieje ciąg zbiorów   takich, że
    •  
    •  

Przykłady:

1) Miarą σ-skończoną jest np. miara Lebesgue’a. Istotnie,

 

gdzie każdy przedział postaci   jest oczywiście długości (miary)  

2) Nie jest miarą σ-skończoną miara liczącą   określona na prostej rzeczywistej   następująco:

  •   przypisuje skończonym podzbiorom zbioru   liczbę ich elementów,
  •   przypisuje zbiorom nieskończonym liczbę =  

Istotnie, zbiór   jest nieprzeliczalny – żadnego zbioru nieprzeliczalnego nie da się przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów skończonych.

Miary, które nie są σ-skończone, nazywa się patologicznymi.

Miary zupełne. Zbiory zaniedbywalneEdytuj

Osobny artykuł: miara zupełna.

(1) Df. Miarę nazywa się zupełną, gdy każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny i w konsekwencji ma miarę = 0.

(2) Nie każda miara jest zupełna.

Np. Miara Lebesgue’a obcięta do σ-ciała borelowskich podzbiorów prostej nie jest zupełna, gdyż:

  • rodzina borelowskich podzbiorów prostej jest mocy   (continuum),
  • zbiór Cantora, jako zbiór domknięty, jest borelowski, a ponadto jest to zbiór miary zero oraz mocy continuum, a więc rodzina jego wszystkich podzbiorów jest mocy   co oznacza iż jego podzbiorów jest więcej niż wszystkich zbiorów borelowskich.

(3) Df. Zbiory miary zero nazywane są zbiorami zaniedbywalnymi.

(4) Tw. Carathéodory’ego

Każdą miarę można rozszerzyć do miary określonej na σ-ciele poszerzonym o zbiory zaniedbywalne, która jest zupełna (tzw. uzupełnienie miary).

Np. miara Lebesgue’a na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest uzupełnieniem miary Lebesgue’a na rodzinie zbiorów borelowskich.

Zbiory niemierzalneEdytuj

Osobny artykuł: zbiór niemierzalny.
  • Zbiorami niemierzalnymi względem sigma-ciała   przestrzeni mierzalnej   nazywamy podzbiory zbioru   które nie należą do  

Pod pojęciem zbiorów niemierzalnych rozumie się najczęściej zbiory, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue’a.

Rodzinę   zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a najczęściej opisuje się jako rodzinę tych podzbiorów prostej, które spełniają warunek Caratheodory’ego dla miary zewnętrznej Lebesgue’a. Naturalnym pytaniem matematyków było więc czy wszystkie podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a? Okazuje się, że nie można udzielić odpowiedzi na to pytanie, używając tylko aksjomatyki Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru). Zakładając aksjomat wyboru, można jednak udowodnić istnienie niemierzalnych podzbiorów prostej. Do takich zbiorów należą:

Aby udowodnić istnienie ostatnich dwóch zbiorów, należy założyć dodatkowo hipotezę continuum.

Tw. Każdy zbiór dodatniej miary Lebesgue’a zawiera podzbiór niemierzalny (przy założeniu aksjomatu wyboru).

Uogólnienia miaryEdytuj

Rozważa się miary, których wartości nie są ograniczone do nieujemnych liczb rzeczywistych i nieskończoności.

Jeżeli zachodzi potrzeba odróżnienia zwykłej miary przyjmującej wartości nieujemne od jednego z jej uogólnień, to używa się zwykle pojęcia „miara dodatnia”.

Przykłady miar uogólnionych:

Ważny wynik geometrii całkowej (twierdzenie Hadwigera) mówi, że przestrzeń funkcji niezmienniczych ze względu na przesunięcia, skończenie addytywnych, niekoniecznie nieujemnych zbiorów określona na skończonej sumie zwartych zbiorów wypukłych w   składa się (z dokładnością do mnożenia skalarnego) z jednej „miary”, która jest „jednorodna stopnia  ” dla każdego   i kombinacji liniowych tych „miar”. „Jednorodna stopnia  ” oznacza, że skalowanie dowolnego zbioru przez dowolny współczynnik   mnoży „miarę” zbioru przez   Jednorodną stopnia   jest  -wymiarowa objętość, jednorodną stopnia   jest hiperpłaszczyzna, a jednorodną stopnia   jest tajemnicza funkcja nazywana „błędną szerokością” (przekorna nazwa), jednorodną stopnia zero jest charakterystyka Eulera.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
  • A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 1986.
  • Tripos Cambridge, Notatki na temat prawdopodobieństwa i teorii miarytu link.
  • R.M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge University Press 2002.
  • D.H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin 2000.
  • Paul Halmos, Measure theory, Van Nostrand and Co 1950.
  • M.E. Munroe, Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley 1953.
  • G.E. Shilov, B.L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, tł. Dover Publications 1978. ​ISBN 0-486-63519-8​. Akcentuje całkę Daniella.