Granica Banacha – liniowy i ciągły funkcjonał na przestrzeni
ℓ
∞
{\displaystyle \ell _{\infty }}
ograniczonych ciągów liczbowych z normą supremum , naśladujący własności operacji brania granicy ciągu zbieżnego . W szczególności, granica Banacha ciągu zbieżnego jest równa jego granicy w zwykłym sensie. Dla dowodu istnienia granic Banacha potrzebne jest twierdzenie Hahna-Banacha (a więc pewna forma aksjomatu wyboru ), stąd charakter tego pojęcia jest wyłącznie egzystencjonalny – granicy Banacha nie można skonstruować krok po kroku . Użycie w dowodzie istnienia granicy Banacha twierdzenia Hahna-Banacha nie mówi nic o jednoznaczności istnienia funkcjonału o takich własnościach. Co więcej, każdemu ultrafiltrowi wolnemu w algebrze potęgowej
P
(
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}
Istnieje ograniczony funkcjonał liniowy
f
:
ℓ
∞
→
C
{\displaystyle f\colon \ell _{\infty }\to \mathbb {C} }
mający następujące własności:
Jeśli
x
=
(
x
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
∞
{\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }}
x
n
⩾
0
,
{\displaystyle x_{n}\geqslant 0,}
f
(
x
)
⩾
0
,
{\displaystyle f(x)\geqslant 0,}
Jeśli
x
∈
ℓ
∞
,
{\displaystyle x\in \ell _{\infty },}
f
(
x
)
=
f
(
S
x
)
,
{\displaystyle f(x)=f(Sx),}
S
x
=
(
x
2
,
x
3
,
x
4
,
…
)
{\displaystyle Sx=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
…
)
,
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}
f
(
1
,
1
,
1
,
…
)
=
1.
{\displaystyle f(1,1,1,\dots )=1.}
Funkcjonał
f
{\displaystyle f}
granicą Banacha .
Niech
L
{\displaystyle L}
x
=
(
x
n
)
n
∈
N
,
y
=
(
y
n
)
n
∈
N
∈
ℓ
∞
.
{\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },y=(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \ell _{\infty }.}
Jeśli
x
n
⩽
y
n
{\displaystyle x_{n}\leqslant y_{n}}
n
∈
N
,
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
L
(
x
)
⩽
L
(
y
)
{\displaystyle L(x)\leqslant L(y)}
lim inf
n
→
∞
x
n
⩽
L
(
x
)
⩽
lim sup
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leqslant L(x)\leqslant \limsup _{n\to \infty }x_{n}}
L
(
x
)
=
lim
n
→
∞
x
n
{\displaystyle L(x)=\lim _{n\to \infty }x_{n}}
x
{\displaystyle x}
L
(
x
)
=
1
/
2
{\displaystyle L(x)=1/2}
x
=
(
1
,
0
,
1
,
0
,
…
)
{\displaystyle x=(1,0,1,0,\dots )}
x
+
S
x
=
(
1
,
1
,
1
,
…
)
,
{\displaystyle x+Sx=(1,1,1,\dots ),}
L
(
x
+
S
x
)
=
1
,
{\displaystyle L(x+Sx)=1,}
L
(
x
+
S
x
)
=
L
(
x
)
+
L
(
S
x
)
=
2
L
(
x
)
,
{\displaystyle L(x+Sx)=L(x)+L(Sx)=2L(x),}
czyli
L
(
x
)
=
1
/
2
{\displaystyle L(x)=1/2}
Granica Banacha nie jest funkcjonałem multyplikatywnym, tzn. istnieją takie ciągi ograniczone
x
{\displaystyle x}
y
,
{\displaystyle y,}
L
(
x
y
)
≠
L
(
x
)
⋅
L
(
y
)
.
{\displaystyle L(xy)\neq L(x)\cdot L(y).}
Istotnie, gdyby granica Banacha była funkcjonałem multyplikatywnym, to biorąc
x
=
(
1
,
0
,
1
,
0
,
…
)
{\displaystyle x=(1,0,1,0,\dots )}
0
=
L
(
0
)
=
L
(
x
⋅
S
x
)
=
L
(
x
)
⋅
L
(
S
x
)
=
(
L
(
x
)
)
2
=
1
4
,
{\displaystyle 0=L(0)=L(x\cdot Sx)=L(x)\cdot L(Sx)=(L(x))^{2}={\tfrac {1}{4}},}
co stanowi sprzeczność. Bibliografia
edytuj
