Otwórz menu główne

Operator nazywa się operatorem liniowym ograniczonym jeżeli:

Operator ograniczony nie jest w ogólności funkcją ograniczoną; wymagałoby to by norma była mniejsza od pewnej liczby dla wszystkich wektorów tj.

co zachodzi jedynie, gdy operator jest funkcją ograniczoną, np.

Operator liniowy ograniczony jest jednak zawsze funkcją lokalnie ograniczoną, co oznacza, że dla każdego wektora istnieje otoczenie, w którym wartości operatora są liczbami skończonymi,

gdzie należy do otoczenia wektora

Normą operatora nazywa się najmniejszą liczbę spełniającą warunek podany w definicji tego operatora.

Warunki równoważneEdytuj

Jeżeli   są przestrzeniami unormowanymi, to dla operatora   następujące warunki są równoważne:

  1. jest operatorem ograniczonym,
  2.   jest operatorem jednostajnie ciągłym,
  3.   jest operatorem ciągłym,
  4.   jest operatorem ciągłym w zerze.

PrzykładyEdytuj

Operatory ograniczoneEdytuj

(1) Operator jednostkowy   ograniczony, tj.

 

Jeżeli   oraz   i   to normą operatora   jest liczba   gdyż dla wszystkich   spełniony jest warunek  

(2) Operator skończenie wymiarowy, tj. działający między przestrzeniami skończenie wymiarowymi jest ograniczony; operator ten może być reprezentowany przez macierz, a jego działanie na wektor wyrażone jako mnożenie wektora – zapisanego w postaci kolumny – przez tę macierz.

(3) Operator zwarty jest ograniczony.

Operatory nieograniczoneEdytuj

(1) Operator liczby cząstek dla bozonów nie jest operatorem ograniczonym, gdyż liczba bozonów może być dowolnie duża.

TwierdzeniaEdytuj

Tw. 1. Operator liniowy pomiędzy przestrzeniami unormowanymi jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągły (lub z powodu liniowości – jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły w zerze).

Tw. 2. Przestrzeń liniowa ℬ(X, Y) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z   do   wyposażona w normę operatorową jest przestrzenią unormowaną, która jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią Banacha.

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj