Otwórz menu główne

Funkcja ciągła

rodzaj odwzorowania w matematyce

Funkcja ciągłafunkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:

  1. funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
  2. funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych. To ujęcie jest jednocześnie bardzo proste i pozwala jednolicie potraktować przypadki nieskończoności (bardzo potrzebne przy pojęciu granicy funkcji i granicy ciągu):

Zbiór staje się przestrzenią topologiczną, gdy dla każdego jego elementu określimy rodzinę otoczeń tego elementu – podzbiorów Musi ona spełniać pewne warunki.

Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę.

Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały dla dowolnych otoczeniami elementu są przedziały dla dowolnych (ciekawe są otoczenia dla ).

Niech będą dane zbiory i zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja

Definicja (topologiczna): Funkcja jest ciągła w punkcie jeśli

symbole i to kwantyfikatory.

Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli zbioru Funkcja jest ciągła w zbiorze zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.

Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistejEdytuj

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości:

  • Cauchy’ego – podana przez Augustina Louisa Cauchy’ego, nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter   oraz   w definicji;
  • Heinego – podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.

Niech   oraz  

DefinicjeEdytuj

Definicja Cauchy’egoEdytuj

Funkcja   jest ciągła w punkcie   wtedy i tylko wtedy gdy:

 

Definicja ta jest równoważna topologicznej: warunek   oznacza, że   należy do kuli otwartej o środku   i promieniu   (czyli do otoczenia  ). Warunek   oznacza, że   należy do kuli otwartej o środku   i promieniu   (czyli do otoczenia  ). Tak więc zapis   oznacza wybranie otoczenia   a zapis   oznacza dobranie do niego otoczenia   (zamiast pisać   Cauchy pisze   (  pełni rolę  ), a warunek przynależności do   przenosi do poprzednika implikacji).

Definicja HeinegoEdytuj

Funkcja jest ciągła w punkcie   wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu   liczb z   który jest zbieżny do   ciąg wartości   jest zbieżny do   czyli

 

Jeżeli funkcja   spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego   to jest ona ciągła na zbiorze   odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.

Mówimy że funkcja jest ciągła jeżeli jest ciągła na całej swojej dziedzinie.

Uwagi do definicjiEdytuj

Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.

Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja   jest ciągła w punkcie izolowanym, tj. nie będącym punktem skupienia zbioru  

Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru

 

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej[a].

Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronnaEdytuj

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla   mianowicie   aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do   wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

PrzykładyEdytuj

Rozpatrujemy funkcje  

  • Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji  ).
  • Funkcja dana wzorem
 
jest ciągła.
  • Funkcja skokowa Heaviside’a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem:  
  • Funkcja Dirichleta   jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
    • Funkcja   jest ciągła wyłącznie w punkcie  
    • Funkcja   jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
  • Funkcja Riemanna   jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

WłasnościEdytuj

  • Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
  • Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła,   to na dziedzinie:
  1. jest jednostajnie ciągła,
  2. przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
  3. ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanychEdytuj

DefinicjeEdytuj

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych   oraz   funkcja   jest ciągła w punkcie   jeśli prawdziwe jest zdanie

 

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

  albo  

gdzie   oznaczają kule otwarte odpowiednio w   oraz     oznaczają środek i promień kuli   (analogicznie jest dla kuli  ).

Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji   w sensie Heinego jest:

 

PrzykładyEdytuj

  • Dwuargumentowe działania algebraiczne   zdefiniowane   dla  
    Zbiór liczb zespolonych   jest przestrzenią metryczną w metryką  
    zbiór par liczb zespolonych   jest przestrzenią metryczną w metryką  
    gdzie   oznacza moduł liczby zespolonej.
  • Jednoargumentowe działanie algebraiczne   zdefiniowane   dla  
  • Jednoargumentowe działanie   zdefiniowane   dla  
  • Metryka naturalna   na sferze   zdefiniowana formalnie jako   czyli jako kąt między niezerowymi wektorami  

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznychEdytuj

DefinicjaEdytuj

 
Ciągłość funkcji w punkcie   dla otoczenia   punktu   możemy znaleźć otoczenie   punktu   takie, że   jest zawarte w  

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii[1].

Niech   oraz   będą przestrzeniami topologicznymi.

Mówimy, że funkcja   jest ciągła w punkcie   jeżeli dla każdego otoczenia   punktu   istnieje otoczenie   punktu   takie, że jego obraz   zawiera się w   (patrz rysunek obok).

Jeśli przestrzenie  metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.

Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymiEdytuj

W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech   i   będą przestrzeniami topologicznymi oraz  

Aby sprawdzić ciągłość funkcji   nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.

  • Można zbadać dla pewnej bazy   tej przestrzeni: funkcja   jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego   jest otwarty, tj. należy do topologii  
  • Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja   jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:
    • przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w   jest domknięty w  
    • dla każdego zbioru   spełniony jest warunek
       
      gdzie   oznacza domknięcie zbioru  
    • dla każdego zbioru   spełniony jest warunek
 

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli   jest funkcją ciągłą oraz   ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz  

Jeśli zbiór   jest gęsty w   a   są ciągłe oraz   dla każdego   to  

Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymiEdytuj

Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej   w inną przestrzeń   jest oznaczana symbolem   Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień   o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z   w   i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni  

Na przestrzeni   rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej
zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie  
zbieżności jednostajnej
w której bazą otoczeń punktu   jest   gdzie  

Ciągłość funkcji w terminach teoriomnogościowychEdytuj

Niech   oraz   będą porządkami zupełnymi.

Funkcja   jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego   zachodzi  

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Należy zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorach:
     
     
    Pierwszy z nich stwierdza ciągłość funkcji w sensie Cauchy’ego na zbiorze   drugi stwierdza jednostajną ciągłość funkcji na zbiorze  

PrzypisyEdytuj

  1. T. Trajdos, Matematyka cz. III, Podręczniki akademickie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, s. 332.

BibliografiaEdytuj

  • T. Trajdos, Matematyka cz. III, Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna, Warszawa: PWN, 1976.
  • Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.