Otwórz menu główne

Spis treści

Złożenie (superpozycja) funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

DefinicjaEdytuj

Niech   oraz   będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję   taką, że:

  dla  

Funkcje   oraz   nazywa się funkcjami składanymi, zaś   nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany   Dla powyższych funkcji

 

zatem dla dowolnego   z dziedziny funkcji   mamy równość:

 

WłasnościEdytuj

Łączność operatora składania oznacza, że   czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis  

Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora   jest nieprzemienność. Złożenie   oznacza relację:   «po»     «z» lub «dzięki»   czy też   «wskutek» lub «utworzony z»   (ang. after, of, following, composed).

Tak więc złożenie   nie jest tożsame z   Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór   jest tożsamy z   Mamy wówczas   a w takim przypadku   na ogół różni się od funkcji  

PrzykładEdytuj

Niech   i  

Wtedy

 

natomiast

 

Widać, iż   jest inna niż  

Struktura grupyEdytuj

Osobny artykuł: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

PrzykładEdytuj

  •   czyli grupa symetryczna danego zbioru   oznaczana również przez   albo   czyli grupa wszystkich bijekcji  
  • Zbiór wszystkich odwzorowań   jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobąEdytuj

Jeżeli   to można wykonać złożenie   samą ze sobą – otrzymaną funkcję   oznacza się zazwyczaj   Analogicznie,   itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję   dla której   nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie   jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli   dla każdego   W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze:   zapis   oznacza właśnie  

Zobacz teżEdytuj