Półgrupa

Półgrupa – Grupoid (czyli zbiór z określonym na nim działaniem dwuargumentowym) $\langle A,\odot \rangle ,$ którego działanie $\odot$ jest łączne, czyli:

• $\forall a,b,c\in A:\;(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c).$

Szczególnymi przypadkami półgrup są monoid i grupa.

Przykłady

• pełna półgrupa transformacji dowolnego zbioru,
• liczby całkowite dodatnie z dodawaniem,
• struktura multiplikatywna dowolnego pierścienia łącznego, niekoniecznie z jedynką,
• zbiór mas umieszczonych w punktach zbioru wypukłego $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ z działaniem, które dwóm masom przyporządkowuje ich środek ciężkości (półgrupa zadana na zbiorze $\mathbb {R} _{+}\times W$):

$((m_{1},{\vec {x}}_{1}),(m_{2},{\vec {x}}_{2}))\mapsto \left(m_{1}+m_{2},{\frac {m_{1}{\vec {x}}_{1}+m_{2}{\vec {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right).$

Przypadki szczególne

• półgrupa, w której działanie $\odot$ jest przemienne, to półgrupa przemienna (zwana niekiedy też abelową),
• półgrupa, w której istnieje element neutralny, to monoid,
• półgrupa, w której istnieje element neutralny i element odwrotny do każdego elementu, to grupa.