Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

Definicja edytuj

Niech   będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym   Element   nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki[1]:

  •  
  •  
  •  

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

Oznaczenia edytuj

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez   i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem   i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą   lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku   który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera   oraz   oraz symbole z nimi powiązane.

Przykłady edytuj

element neutralny obustronny
elementy neutralne jednostronne
  • Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:
     
jednocześnie
 
a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.
  • Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech   będzie działaniem w zbiorze   gdzie   oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba   jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem
     
Działanie może nie mieć elementu neutralnego

Własności edytuj

  • Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
  • Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

Zastosowania edytuj

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

Przypisy edytuj

  1. Neutralny element działania, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].

Linki zewnętrzne edytuj

  • Eric W. Weisstein, Identity Element, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
  •   Identity element (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].