Otwórz menu główne

Element neutralny – element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie zbiorem z określonym działaniem dwuargumentowym   Element   nazywa się elementem neutralnym, jeżeli spełnia następujące warunki:

  •  
  •  
  •  

Jeżeli element spełnia tylko pierwszy warunek definicji, to nazywa się go elementem neutralny lewostronnym, jeżeli zaś zadość jest wyłącznie drugiemu z nich, to nosi on nazwę elementu neutralnego prawostronnego. Dla wyróżnienia element neutralny nazywa się niekiedy elementem neutralnym obustronnym.

OznaczeniaEdytuj

Jeśli działanie zapisane jest w notacji addytywnej, czyli przez   i podobne symbole, to element neutralny względem tego działania oznacza się zazwyczaj symbolem   i nazywa elementem zerowym lub krótko: zerem. Jeśli natomiast działanie opisywane jest w notacji multiplikatywnej, czyli zwykle za pomocą   lub bez oznaczenia, to element neutralny oznaczany jest zwyczajowo za pomocą znaku   który nazywa się elementem jednostkowym, jednością bądź jedynką.

Innymi często spotykanymi oznaczeniami są litera   oraz   oraz symbole z nimi powiązane.

PrzykładyEdytuj

element neutralny obustronny
elementy neutralne jednostronne
  • Działaniem posiadającym wyłącznie prawostronny element neutralny jest odejmowanie liczb rzeczywistych, którym jest zero:
     
jednocześnie
 
a zatem zero nie jest elementem neutralnym lewostronnym.
  • Działanie może mieć wiele elementów neutralnych jednostronnych. Niech   będzie działaniem w zbiorze   gdzie   oznacza podłogę (część całkowitą). W tym przypadku każda liczba   jest elementem neutralnym prawostronnym, bowiem
     
Działanie może nie mieć elementu neutralnego

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli działanie ma jednocześnie elementy neutralne prawostronny i lewostronny, to są one sobie równe (jest to oczywiście element neutralny obustronny).
  • Jeżeli działanie jest przemienne, to element neutralny jednostronny jest również elementem neutralnym obustronnym.

ZastosowaniaEdytuj

W definicjach większość ważnych w praktyce struktur algebraicznych takich jak grupy, pierścienie (z jedynką), czy ciała zakłada się istnienie elementów neutralnych. Istnieją jednak ich uogólnienia, jak np. grupoid, półgrupa, czy pierścień (bez aksjomatu jedynki), w których element ten nie musi istnieć.

Zobacz teżEdytuj