Otwórz menu główne

Funkcja tożsamościowa

Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność)funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.

W niektórych dyscyplinach matematycznych zamiast słowa funkcja używa się słów odwzorowanie lub przekształcenie.

Gdy funkcja jest określona na specyficznej dziedzinie czy przeciwdziedzinie, to używa się też innych nazw. Np. funkcjonał – funkcja z przestrzeni wektorowej na ciało liczbowe, operator – funkcja z przestrzeni wektorowej na przestrzeń wektorową itp.

DefinicjaEdytuj

Funkcją tożsamościową (identycznościową) zbioru   nazywa się funkcję   daną dla każdego   wzorem

 

Zwykle funkcję tę oznacza się symbolem zawierającym małą lub dużą literę i lub 1, spotyka się też symbol id. Do najpopularniejszych oznaczeń należą       choć dwa ostatnie symbole często oznaczają funkcję charakterystyczną zbioru  

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, to opuszcza się indeks dolny wskazujący zbiór, na którym określono funkcję tożsamościową, pisząc:      

W języku teorii mnogości, gdzie funkcja definiowana jest jako szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, funkcja tożsamościowa dana jest jako relacja tożsamościowa lub przekątna  

WłasnościEdytuj

 
Wykres funkcji tożsamościowej określonej na liczbach rzeczywistych.

Jeżeli   jest dowolną funkcją, to   gdzie   oznacza złożenie funkcji. W szczególności   jest elementem neutralnym (identycznością) monoidu wszystkich funkcji  

Ponieważ element neutralny w monoidzie wyznaczony jest jednoznacznie, to funkcję identycznościową na   można zdefiniować również jako wspomniany element neutralny. Taka definicja uogólnia się do pojęcia morfizmu identycznościowego w teorii kategorii, gdzie endomorfizmy   nie muszą być funkcjami.

Funkcja identycznościowa jest wzajemnie jednoznaczna. W szczególności odwzorowanie tożsamościowe dowolnej struktury algebraicznej jest jej automorfizmem.

PrzykładyEdytuj

Funkcja liniowa postaci   jest tożsamością na zbiorze liczb rzeczywistych.

Zobacz teżEdytuj