Automorfizmizomorfizm struktury matematycznej na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury.

DefinicjaEdytuj

Ścisła definicja automorfizmu zależy od rodzaju „obiektu matematycznego” oraz od tego, czym jest „izomorfizm” danego obiektu. Najogólniejszym spojrzeniem na to pojęcie jest abstrakcyjna gałąź matematyki zwana teorią kategorii, która zajmuje się abstrakcyjnymi obiektami i morfizmami między nimi.

W teorii kategorii automorfizm to endomorfizm (morfizm obiektu na siebie) będący zarazem izomorfizmem (w znaczeniu teoriokategoryjnym).

Powyższa definicja jest wyjątkowo abstrakcyjna, gdyż morfizmy w teorii kategorii nie muszą być nawet funkcjami, zaś obiekty – zbiorami. W większości zastosowań obiekty będą jednakże zbiorami wraz z dodatkową strukturą, zaś morfizmy – funkcjami zachowującymi te struktury.

W kontekście algebry abstrakcyjnej obiektami matematycznymi są przykładowo grupy, pierścienie, czy przestrzenie liniowe. Izomorfizmem jest wówczas wzajemnie jednoznaczny homomorfizm (oczywiście definicja homomorfizmu zależy od typu struktury, zobacz: homomorfizm grup, homomorfizm pierścieni, homomorfizm przestrzeni liniowych).

Grupa automorfizmówEdytuj

Zbiór wszystkich automorfizmów obiektu   z działaniem składania morfizmów tworzy grupę zwaną grupą automorfizmów obiektu  

Grupa ta jest dobrze określona, gdyż:

  • złożenie dwóch endomorfizmów jest endomorfizmem,
  • złożenie jest zawsze łączne,
  •   jest morfizmem identycznościowym obiektu na siebie (istnieje z definicji),
  •   – z definicji izomorfizm posiada odwrotność będącą izomorfizmem będącym zarazem endomorfizmem, stąd odwrotność również jest automorfizmem.

Grupę automorfizmów obiektu   w kategorii   oznacza się   lub po prostu   jeżeli kategoria jest znana z kontekstu. W pewnym sensie pojęcie to jest podobne do konceptu grupy symetrii tego obiektu.

Automorfizmy wewnętrzneEdytuj

W niektórych kategoriach, takich jak grupy, pierścienie, czy algebry Liego, możliwe jest podzielenie automorfizmów na dwa rodzaje nazywane „wewnętrznymi” i „zewnętrznymi”.

W przypadku grup automorfizmy wewnętrznesprzężeniami elementów przez elementy tej grupy. W grupie   dla każdego   sprzężenie przez   jest działaniem   określonym wzorem   (spotyka się także  ). Można łatwo sprawdzić, że sprzężenie przez   jest automorfizmem grupowym   Wszystkie automorfizmy wewnętrzne, oznaczane   zgodnie z lematem Goursatapodgrupą normalną grupy  

Pozostałe automorfizmy nazywa się automorfizmami zewnętrznymi. Grupa ilorazowa   zwykle jest oznaczana przez   Elementy różne od neutralnego są warstwami zawierającymi automorfizmy zewnętrzne.

Ta sama definicja obowiązuje w dowolnym pierścieniu z jedynką, czy algebrze, gdzie   jest dowolnym elementem odwracalnym. W algebrach Liego definicja jest nieco inna.

PrzykładyEdytuj

Zobacz teżEdytuj