Otwórz menu główne

Grupa ilorazowa – zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.

W przypadku grup w zapisie addytywnym powinno mówić się formalnie o „grupach różnicowych”, zamiast bardziej adekwatnych w zapisie multiplikatywnym „grupach ilorazowych”[a], co czynili klasyczni badacze teorii grup, np. Zariski i Samuel[1], czy Jacobson[2]; współcześnie stosuje się wyłącznie nazewnictwo i notację multiplikatywną – nawet w przypadku grup w zapisie addytywnym, zob. Lang[3], czy Fuchs[4]. W artykule utrzymano współcześnie stosowaną konwencję.

MotywacjaEdytuj

Zobacz też: arytmetyka modularna.

Konstrukcja grupy ilorazowej ma na celu uogólnienie arytmetyki modularnej grupy addytywnej   w której działania pochodzą z grupy addytywnej liczb całkowitych   na dowolną grupę (zob. Przykłady). Dla danych grupy   i jej dowolnej podgrupy   należy więc wprowadzić takie działanie dwuargumentowe na zbiorze warstw grupy   względem   które byłoby odzwierciedleniem działania w grupie   i uczyniłoby ze zbioru warstw grupę. Natychmiast pojawiają się dwa problemy:

  • Po pierwsze istnieją zbiory warstw lewostronnych i prawostronnych grupy   względem   jeżeli   jest przemienna, to zbiory te są równe, jednakże w ogólności mogą się one istotnie od siebie różnić (zob. przykład). W którym z nich wprowadzić strukturę grupy? Może oba te zbiory można przekształcić w grupy? Jeśli tak, to jaka zachodzi między nimi relacja? Jeśli nie, to dlaczego jest to niemożliwe?
  • Druga kwestia dotyczy samego działania. Zasadniczym problemem wprowadzania działania na zbiorze   jest to, czy dodawanie elementów tego zbioru jest dobrze określone; wtedy sprawdzenie, że   jest grupą nie przedstawia większych problemów. Podobnie ma się rzecz z grupą ilorazową.

Okazuje się, że postawione zagadnienia są ze sobą blisko powiązane i dlatego odpowiedzi na nie zostaną przedstawione równocześnie.

WprowadzenieEdytuj

Zobacz też: warstwapodgrupa normalna.

Niech   będzie grupą, a   będzie jej dowolną podgrupą, zaś   oznacza zbiór warstw lewostronnych grupy   względem   czyli podzbiorów postaci   dla   Najbardziej naturalnym kandydatem[b] na działanie w   jest wybór elementów zgodnie ze wzorem

 

Należy jednak najpierw sprawdzić, iż tak zadane działanie jest dobrze określone na   gdyż powyższy wzór wskazujący iloczyn   wykorzystuje do tego elementy   które mogą być przecież wybrane na wiele sposobów. Powyższa reguła mówi w istocie, że aby obliczyć iloczyn elementów   należy najpierw wziąć   dla którego   następnie wziąć   dla którego   po czym obliczyć iloczyn   w grupie   i wreszcie wybrać warstwę   odpowiadającą iloczynowi   która ma być iloczynem   Dlatego należy się upewnić, że w wyniku zastosowania tej procedury dla danych dwóch warstw lewostronnych otrzymuje się zawsze tę samą warstwę lewostronną; nawet wtedy, gdy wybrano inne elementy z warstw lewostronnych   do ich reprezentowania. Problem ten można podsumować następująco: czy wspomnianym warstwom lewostronnym przyporządkowuje się zawsze ten sam iloczyn niezależnie od sposobu ich identyfikacji (tzw. funkcyjność) i czy sam jest on warstwą lewostronną (tzw. zamkniętość), tj. czy tak zdefiniowane mnożenie jest działaniem wewnętrznym[c]?

Powyższy wzór daje dobrze określone działanie wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich   i   zachodzi implikacja postaci:   oraz   pociągają   co korzystając z własności warstw można zapisać w równoważnej postaci:   oraz   pociąga   co po podstawieniu upraszcza się do   przy czym (korzystając raz jeszcze z własności warstw) można zapisać to jako   czy też   dla każdego  [d]. Ostatni wzór jest jedną z charakteryzacji podgrupy   jako podgrupy normalnej w   dlatego też działanie mnożenia warstw lewostronnych grupy   względem podgrupy   jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa   jest normalna[e].

Wspomniany warunek normalności jest równoważny innemu, mianowicie   dla każdego   oznacza on, że każda warstwa lewostronna jest równocześnie warstwą prawostronną   względem   innymi słowy zbiory warstw lewo- i prawostronnych grupy   względem   są równe wtedy i tylko wtedy, gdy   jest normalna w   – daje to odpowiedź na oba z postawionych w poprzedniej sekcji pytań: nie ma potrzeby przejmować się rozróżnianiem tych zbiorów wtedy (i tylko wtedy), gdy działanie jest dobrze określone (w związku z tym działanie   na warstwach prawostronnych również jest dobrze określone: w istocie działania te są wtedy identyczne).

KonstrukcjeEdytuj

Powyższe rozważania prowadzą wprost do konstrukcji wprowadzającej mnożenie warstw opisanej w kolejnej sekcji, bardziej naturalną konstrukcję opisano w sekcji Iloczyn kompleksowy, zaś najogólniejszą z nich opisano w sekcji Kongruencja.

Mnożenie warstwEdytuj

Zobacz też: warstwa.

Niech   będzie podgrupą normalną w grupie   Zbiór   z działaniem mnożenia warstw określonym wzorem

 

tworzy grupę:

  • niezależność i wewnętrzność: zgodnie z powyższym rozumowaniem działanie jest dobrze określone, a iloczyn dwóch warstw lewostronnych również jest warstwą lewostronną;
  • łączność: dla dowolnych   zachodzi   na mocy łączności   elementów  
  • element neutralny: warstwa   jest lewostronnym elementem neutralnym, gdzie   jest lewostronnym elementem neutralnym grupy, ponieważ   dla wszystkich  
  • element odwrotny: każda warstwa lewostronna   ma element odwrotny lewostronnie w postaci warstwy lewostronnej   gdyż   jest elementem neutralnym.

Grupę tę nazywa się grupą ilorazową lub krótko ilorazem   przez   i oznacza zwykle tak jak zbiór warstw, zazwyczaj  

Iloczyn kompleksowyEdytuj

Zobacz też: iloczyn kompleksowy.

Mnożenie warstw polegające na wyborze reprezentantów jest sztuczne: dużo bardziej naturalnym podejściem byłoby traktowanie wszystkich elementów warstw w jednakowy sposób, nie zaś wyróżnianie jednego z nich, a następnie wykazywanie, że nie jest to niesprawiedliwością w stosunku do pozostałych. Z tego powodu wprowadza się naturalnie określone działanie na dowolnych niepustych podzbiorach danej grupy nazywanych kompleksami, które w przypadku warstw (będących kompleksami) pokrywa się z opisanym wyżej mnożeniem warstw.

Jeżeli   są kompleksami (tzn. niepustymi podzbiorami) grupy   to ich iloczynem nazywa się zbiór   dla warstw stosuje się notację   oraz   gdzie   zaś   jest podgrupą w   Iloczyn kompleksowy warstw lewostronnych grupy   względem podgrupy   jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa   jest normalna. Otóż iloczynem   oraz   dla   jest zbiór   przy czym   Zatem   jest warstwą lewostronną grupy   względem   wtedy i tylko wtedy, gdy jest warstwą lewostronną   względem   zawierającą   tzn.   jest warstwą lewostronną   względem   wtedy i tylko wtedy, gdy   Wystarczy więc wykazać, że   dla wszystkich   zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   jest normalna w  [f].

Porównując działania mnożenia warstw grupy   względem podgrupy   oraz ich iloczyn kompleksowy można zauważyć, że mnożenie dwóch warstw lewostronnych jest zawsze warstwą lewostronną, o ile działanie to jest dobrze określone, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy   jest normalna w   z drugiej zaś strony iloczyn kompleksowy dwóch warstw jest zawsze dobrze określonym kompleksem, który jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy warstwy wyznaczane są przez podgrupę normalną: związek   w powyższym rozumowaniu dowodzi, że działania te są identyczne pod warunkiem normalności podgrupy   w grupie  

KongruencjaEdytuj

Zobacz też: kongruencja.

Z szerszego punktu widzenia przejście od relacji równoważności do warstw jest wygodnym (ze względu na algebraiczną charakteryzację klas równoważności), ale nieco ograniczającym (z uwagi na zawężoną stosowalność tego podejścia) krokiem: w przypadku algebr ogólnych nie można wyróżnić podalgebry będącej odpowiednikiem podgrupy normalnej, która wskazywałaby relację równoważności zachowującą daną strukturę algebraiczną – jedynym właściwym rozwiązaniem jest pozostanie przy relacjach równoważności i zagwarantowanie w algebrze ilorazowej dobrego określenia (niezależności od wyboru reprezentantów) działań pochodzących z algebry wyjściowej[g].

Na relację równoważności   określoną na   w której   wtedy i tylko wtedy, gdy   można patrzeć jako na podzbiór   Wówczas   wtedy i tylko wtedy, gdy  [h] – relację tę nazywa się kongruencją (lewostronną)[i]. Przedstawione dalej obserwacje są powtórzeniem rozumowań dotyczących mnożenia warstw, ich związku z relacjami równoważności i roli podgrup normalnych (zob. warstwa: Własności, Wprowadzenie) w języku kongruencji. W zbiorze   istnieje naturalna struktura grupy odziedziczona z grupy   (w postaci iloczynu prostego), a ponieważ   jest podzbiorem   to ma sens pytanie, czy i kiedy   tworzy grupę w   (zob. lemat Goursata). Sytuacja ta miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy   jest normalna w  [j]; wynika stąd, że mnożenie na zbiorze ilorazowym   grupy   przez relację równoważności   na tej grupie zdefiniowane wzorem   jest dobrze określone wtedy i tylko wtedy, gdy   jest podgrupą w  [k]; co więcej, wszystkie tego rodzaju równoważności wyznaczane są przez podgrupy normalne: jeżeli   jest relacją równoważności na   której odpowiada zbiór   zaś   to podgrupa   jest normalna w   oraz   wtedy i tylko wtedy, gdy  [l].

Ogólnie relację równoważności   na algebrze ogólnej   dla której   jest podalgebrą   nazywa kongruencją. W przypadku grup i pierścieni można odejść od kongruencji   na rzecz badania indukującej jej podgrupy normalnej   o powyższej postaci. Przystawanie utożsamia ze sobą pewne elementy, jednakże w przypadku grup zamiast utożsamiać element   z elementem   można dokonać utożsamienia   z elementem neutralnym: podgrupa normalna jest właśnie zbiorem elementów równoważnych elementowi neutralnemu, co tłumaczy intuicję grupy ilorazowej jako grupy   w której dokonano utożsamiania jej elementów z elementem neutralnym. W ogólniejszych strukturach (takich jak półgrupy) nie ma możliwości przedstawienia dowolnego elementu neutralnego w analogicznej postaci, dlatego należy śledzić obie strony odpowiedniej równości (zob. ekwalizator i koekwalizator).

W przypadku grup efektywniejsze operowanie warstwami grupy względem podgrupy (pozostającymi we wzajemnej odpowiedniości z klasami odpowiadających im relacji równoważności, zob. warstwa: Własności), a warunkiem dobrej określoności jest normalność wspomnianej podgrupy (jak pokazano to we Wprowadzeniu); analogiczna sytuacja ma miejsce dla pierścieni, a przez to również modułów, czy przestrzeni liniowych (zob. Uogólnienia).

WłasnościEdytuj

Grupa   nie jest podgrupą w   gdyż jej elementami są niepuste podzbiory (kompleksy) grupy   a nie jej elementy; nie mniej zawsze istnieje w   podgrupa o strukturze identycznej z   (zob. dalej). Ponieważ działanie w   pochodzi od działania w   to grupy ilorazowe dziedziczą niektóre z własności grup bazowych: cykliczność, przemienność, nilpotentność, rozwiązalność oraz skończone generowanie; ponadto rząd grupy ilorazowej   przez   jest równy z definicji indeksowi   w   tzn.   przy czym jeżeli   jest skończona, to   (twierdzenia odwrotne nie muszą zachodzić).

Każda grupa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy wolnej (zob. prezentacja grupy).

RozkładEdytuj

Jeśli   jest podgrupą normalną w   to przekształcenie   dane wzorem   jest homomorfizmem, a nawet epimorfizmem, nazywanym kanonicznym lub naturalnym[m] o jądrze  

Twierdzenie o homomorfizmie
Niech   będzie homomorfizmem grup, a   będzie podgrupą w   Wówczas istnieje jeden i tylko jeden homomorfizm   spełniający
 
który dany jest wzorem   dla  

Wynika stąd, iż obraz   ma tę samą strukturę, co grupa ilorazowa   przez jądro   mianowicie zachodzi.

Twierdzenie o izomorfizmie
Niech   będzie homomorfizmem grup, a   Wówczas istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm   jak w twierdzeniu wyżej i istnieje izomorfizm
 
w szczególności: jeżeli   jest epimorfizmem, to   jest wspomnianym izomorfizmem.

Homomorfizm, którego obraz podgrupy normalnej również jest podgrupą normalną nazywa się normalnym; wszystkie epimorfizmy grup są normalne, istnieją jednak monomorfizmy, które nie są normalne. Każdy homomorfizm ma jądro w sensie kategoryjnym; dlatego dowolny homomorfizm   można przedstawić jako złożenie monomorfizmu   oraz epimorfizmu   Wspomniany rozkład, nazywany również faktoryzacją, można przedstawić za pomocą ciągu homomorfizmów: kolejno monomorfizmu i epimorfizmu między grupami   przy czym obraz pierwszego z nich jest jądrem drugiego; krótko

 

jest krótkim ciągiem dokładnym. Z tego powodu twierdzenie o izomorfizmie nazywa się też twierdzeniem o faktoryzacji. Nazwę można rozumieć dwojako: z jednej strony, jak opisano wyżej, homomorfizm   rozkłada się/faktoryzuje na homomorfizmy   (lub, że   dzieli się/faktoryzuje przez  ); z drugiej strony można powiedzieć, że to grupa   rozkłada się/faktoryzuje za pomocą pewnego homomorfizmu na jego jądro i obraz – w ogólności   jest iloczynem półprostym. W przypadku grup przemiennych monomorfizmy są zawsze morfizmami normalnymi, dlatego wspomniany rozkład   jest iloczynem prostym (  jest sumą prostą w notacji addytywnej).

PodgrupyEdytuj

Między zbiorem wszystkich podgrup w   zawierających   a zbiorem wszystkich podgrup w   istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Niech   oznacza zbiór podgrup grupy   a   oznacza zbiór podgrup grupy   zawierających podgrupę   niech podobnie   oraz   będą zbiorami podgrup normalnych odpowiadającymi poprzednim. Wówczas istnieje bijekcja   dana wzorem

 

dla dowolnej podgrupy   tzn.  

Podgrupom   odpowiadają zatem   Warunek   zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   ma też przy tym miejsce równość indeksów   Ponadto   oraz   gdzie   oznacza grupę generowaną przez  [n]. Wreszcie   wtedy i tylko wtedy, gdy   wówczas   jest izomorficzna z   co jest treścią trzeciego twierdzenia o izomorfizmie.

Przytoczonej listy własności podgrup zachowywanych w powyższej odpowiedniości przy odwzorowaniu na podgrupy grupy ilorazowej nie można uznać za wyczerpującą. Powyższa odpowiedniość jest przykładem połączenia Galois (a nawet odpowiedniości Galois) między kratami podgrup danej grupy i jej ilorazu.

NadgrupyEdytuj

Zobacz też: rozszerzenie grupy.

Grupę   nazywa się rozszerzeniem grupy   przez   wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje krótki ciąg dokładny

 

gdzie   jest monomorfizmem,   jest epimorfizmem grup (zob. homomorfizm grup) oraz obraz pierwszego homomorfizmu jest jądrem drugiego (por. Rozkład). Wtedy   jest podgrupą normalną w   zaś   jest izomorficzna z grupą ilorazową   Jeżeli   zawiera się w centrum   to   nazywa się rozszerzeniem centralnym. Idee te dają pewną odpowiedź na tzw. problem rozszerzenia, czyli pytanie o możliwość zrekonstruowania (oraz sposobu samej konstrukcji) w postaci iloczynów prostego lub półprostego grupy   z grup, które miałyby pełnić dla niej rolę podgrupy normalnej i grupy ilorazowej (przez wspomnianą podgrupę).

PrzykładyEdytuj

Podgrupy trywialna   i niewłaściwa   grupy   które są w niej normalne, dają najprostsze przykłady grup ilorazowych:   o strukturze grupy trywialnej oraz   mająca strukturę grupy   Innym przykładem może być grupa ilorazowa   oznaczana zwykle symbolem   grupy addytywnej   liczb całkowitych   przez jej podgrupę normalną[o]   wszystkich całkowitych wielokrotności liczby  

Tabliczka działania grupy   z warstwami względem podgrupy  
+ 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 11
0 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 11
4 4 8 0 5 9 1 6 10 2 7 11 3
8 8 0 4 9 1 5 10 2 6 11 3 7
1 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 0
5 5 9 1 6 10 2 7 11 3 8 0 4
9 9 1 5 10 2 6 11 3 7 0 4 8
2 2 6 10 3 7 11 4 8 0 5 9 1
6 6 10 2 7 11 3 8 0 4 9 1 5
10 10 2 6 11 3 7 0 4 8 1 5 9
3 3 7 11 4 8 0 5 9 1 6 10 2
7 7 11 3 8 0 4 9 1 5 10 2 6
11 11 3 7 0 4 8 1 5 9 2 6 10

Tabliczka działania
grupy  
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2


Niech   oznacza grupę multiplikatywną   tj. niezerowych liczb rzeczywistych z działaniem ich mnożenia, zaś   będzie jej podgrupą dodatnich liczb rzeczywistych. Funkcja wartości bezwzględnej   dana wzorem   jest epimorfizmem[p], a ponadto   Na mocy twierdzenia o izomorfizmie grupę   można utożsamiać z grupą ilorazową   której warstwami są pary liczb przeciwnych   dla   a ich mnożenie dane jest dla   wzorem

 

Podobnie jak wyżej[o] podgrupa   jest normalna w   a ponadto wyznacza podział   na dwie warstwy dodatnich   oraz ujemnych   liczb rzeczywistych; działanie mnożenia warstw można spełnia wtedy

 

w związku z czym utożsamiając warstwy   z reprezentującymi je odpowiednio liczbami   ustala się izomorfizm grupy ilorazowej   z podgrupą   grupy   Dlatego epimorfizm   o jądrze   to w istocie funkcja signum (funkcja znaku) dla niezerowej liczby rzeczywistej.


UogólnieniaEdytuj

Osobny artykuł: konstrukcje ilorazowe.

Konstrukcja grupy ilorazowej jest punktem wyjścia dla analogicznych struktur, których podstawą jest pewna grupa. Jest tak w przypadku pierścieni, które są grupami przemiennymi (ze względu na dodawanie) z dodatkowym działaniem mnożenia, modułów będących grupami przemiennymi z dodatkowym działaniem mnożenia przez skalary należące do ustalonego pierścienia, które jest zgodne z pozostałymi działaniami, czy przestrzeni liniowych będących modułami, w których pierścień zastąpiono ciałem[q]. Dlatego w ilorazowych: pierścieniu, module, przestrzeni liniowej część teorii dotyczącą struktury grupowej można przyjąć jako daną z góry (w powyższych przykładach: działanie dodawania) skupiając się wyłącznie na zapewnieniu zgodności pozostałych działań w danej strukturze ilorazowej.

Wprowadzając relację równoważności w obiekcie matematycznym danej kategorii dąży się, by uzyskany zbiór ilorazowy był strukturą tego samego rodzaju, co struktura wyjściowa – jak przedstawiono to w tym artykule w przypadku grup. Przykładowo w przestrzeniach topologicznych obecna jest, zwykle niealgebraiczna, struktura nazywana topologią; zadając na niej relację równoważności uzyskuje się przestrzeń ilorazową, czyli zbiór ilorazowy z tzw. topologią ilorazową, tzn. najmniejszą topologią pochodzącą od topologii przestrzeni wyjściowej, dla której odwzorowanie ilorazowe zachowywałoby strukturę topologiczną, tj. było ciągłe (jest to odpowiednik żądania, by odwzorowanie ilorazowe dla grup zachowywało ich strukturę algebraiczną, czyli było homomorfizmem). Jeżeli przestrzeń topologiczna ma również strukturę grupową, jak ma to miejsce w przypadku struktur mieszanych takich jak grupy topologiczne, czy przestrzenie liniowo-topologiczne, to wymaga się zwykle zachowania obu struktur i związków między nimi (w tym przypadku żądając najczęściej, by odwzorowanie ilorazowe było ciągłym homomorfizmem[r]).

Z drugiej strony ze strukturami algebraicznymi wiąże się struktury topologiczne ułatwiające badanie własności algebr za pomocą topologii, tego rodzaju struktury nazywa się często „spektrami” („widmami”), np. przestrzeń Stone’a dla algebr Boole’a[s], przestrzeń/spektrum Gelfanda dla C*-algebr (zob. twierdzenie Banacha-Stone’a), przestrzeń/spektrum Berkowicza dla pierścieni Banacha, czy spektrum dowolnego pierścienia przemiennego albo powierzchnia Riemanna (z topologią Zariskiego) dla rozszerzeń ciał.

Zrezygnowanie z warunku normalności podgrupy względem grupy daje strukturę nazywaną przestrzenią jednorodną[b].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. W związku z tym zamiast dalej omawianej notacji „ ” dla grupy ilorazowej wraz z nazwą „grupa różnicowa” stosowana powinna być notacja „ ”; nawet mimo to, że notacja warstw w zapisie multiplikatywnym ma postać   a w addytywnym – „ ” (warstwy są elementami grup ilorazowych/różnicowych).
  2. a b Na zbiorze warstw lewostronnych grupy   względem   można określić działanie wzorem   które nie daje struktury grupy, gdyż jest jedynie działaniem grupy   na zbiorze   Na zbiorze warstw, jak na każdym innym zbiorze, można określić działanie czyniące z niego grupę (pod założeniem aksjomatu wyboru; w istocie jest to równoważne aksjomatowi wyboru, zob. grupa wolna), jednakże w ogólności nie będzie miało ono żadnego związku z działaniem w  
  3. Zwykle definicje funkcji są dobrze określone, jednakże o konieczności sprawdzania może przekonać zdefiniowany w następujący sposób homomorfizm grup   dany jako funkcja tożsamościowa   (bądź nieco dokładniej:  ). W tym przypadku zachodzi sprzeczność  
  4. Konieczność normalności widać dokładniej przy następującym przedstawieniu warunku dobrego określenia działania: dla dowolnych   równość   ma pociągać   a z równości   ma wynikać   W drugiej implikacji nie wymaga się niczego ponad łączność działania w   jednakże w pierwszej niezbędny jest krok od   do   a więc zapewnienie   dla każdego  
  5. Podsumowując – konieczność: jeżeli   oraz   to   dostateczność: dla każdego   na mocy   (zobacz warstwa: Własności), zachodzi równość   oraz   czyli   zatem   a więc   dla każdego   skąd   gdzie  
  6. Jeżeli   jest normalna w   to   Istotnie: normalność   oznacza   dla każdego   a więc dla dowolnych   zachodzi   gdyż   (co wynika z  ) oraz   na mocy ogólnych własności iloczynu kompleksowego. Odwrotnie: zakładając   dla dowolnych   otrzymuje się   czyli   a stąd   tj.   dla wszystkich   co jest jedną z charakteryzacji normalności   w grupie  
  7. Jest to równoważne ze zgodnością z homomorfizmami danej algebry (które ją zachowują; por. warstwa: Motywacja).
  8. W istocie zwykle tak definiowana jest relacja równoważności, tzn.   tutaj jednak  
  9. Podany wzór definiuje również relację kongruencji prawostronnej, która zostanie tymczasowo pominięta w tych rozważaniach (zob. warstwa: Normalność).
  10. Element neutralny: zbiór   zawiera   (a nawet całą przekątną); niech   będzie normalna; element odwrotny: jeżeli   to   czyli   stąd wzięcie odwrotności każdego z elementów daje   czyli   zamkniętość: jeżeli   to   oraz   czyli   tzn.   Odwrotnie, niech   będzie podgrupą: jeżeli   oraz   to   skąd   czyli   co oznacza, że działanie   jest dobrze określone, a więc na mocy stwierdzenia z Wprowadzenia podgrupa   jest normalna w  
  11. Dostateczność: jeżeli   jest podgrupą w   oraz   i   to   a więc   co oznacza, że mnożenie jest dobrze określone. Konieczność: niech mnożenie będzie dobrze określone; ponieważ   jest równoważnością, to   ponadto jeżeli   to   czyli   jest równe   czyli   z powyższych rozważań wynika, że   jest podmonoidem w   należy jeszcze sprawdzić, że   jest zamknięty ze względu na branie odwrotności – niech   pomnożenie tego elementu lewostronnie przez   oraz prawostronnie przez   otrzymuje się   a na mocy symetryczności relacji   otrzymuje się   dowodzi to, iż   jest podgrupą w  
  12. Niech   oznacza podgrupę trywialną w   Grupę   można utożsamiać z podgrupą   za pomocą izomorfizmu   podgrupa   odpowiada części wspólnej podgrup   oraz   a zatem jest podgrupą w   Relacja   istotnie jest kongruencją (lewostronną) modulo   gdyż   wtedy i tylko wtedy, gdy   (zob. własności warstw); warunek ten jest równoważny ciągowi następujących:   co jest równoważne   normalność   wynika teraz z dobrego określenia mnożenia warstw (lub klas równoważności  ).
  13. Zob. transformacja naturalna.
  14. Jeżeli  normalne, a nawet tylko permutowalne, to   jest w istocie ich iloczynem kompleksowym   oba powyższe warunki są spełnione, gdy   jest przemienna.
  15. a b Każda podgrupa grupy przemiennej, jaką jest   czy   jest w niej normalna.
  16. Przekształcenie   jest tożsamością.
  17. Każde ciało jest przykładem pierścienia; w ciele niezerowe elementy tworzą grupę przemienną z działaniem mnożenia.
  18. W skończeniewymiarowych przestrzeniach współrzędnych można w naturalny sposób wprowadzić strukturę topologiczną (np. za pomocą działania algebraicznego nazywanego iloczynem skalarnym albo wprowadzając pojęcia odległości, czy długości); okazuje się, że wszystkie homomorfizmy tych struktur są w istocie ciągłe w dowolnej wprowadzonej topologii. Sytuacja ulega diametralnej zmianie w przestrzeniach liniowych nieskończonego wymiaru, na których można określić homomorfizmy, które nie są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).
  19. Jest to przypadek szczególny topologii Zariskiego ze względu na odpowiedniość z pierścieniami Boole’a.

PrzypisyEdytuj

  1. Oscar Zariski, Pierre Samuel: Commutative Algebra. Wyd. 1. T. I. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1975, seria: Graduate Texts in Mathematics. 28. ISBN 978-0-387-90089-6. ISSN 0072-5285. (ang.)
  2. Nathan Jacobson: Lectures in Abstract Algebra. Wyd. 1. T. I. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1951, seria: Graduate Texts in Mathematics. 30. ISBN 978-1-4684-7303-2. ISSN 0072-5285. (ang.)
  3. Serge Lang: Algebra. Wyd. 3. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. DOI: 10.1007/978-1-4613-0041-0. 211. ISBN 978-0-387-95385-4. ISSN 0072-5285. (ang.)
  4. László Fuchs: Infinite abelian groups. T. I. Nowy Jork: Academic Press, 1970, seria: Pure and Applied Mathematics. 36. (ang.)

BibliografiaEdytuj

  • G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przegląd algebry współczesnej, wyd. II, PWN, Warszawa 1963.
  • Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 63. ISBN 83-01-06260-6.
  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ​ISBN 83-904564-9-4​.