Wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

DefinicjeEdytuj

  • W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej   to każda liczba   postaci   gdzie   jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej   jako liczby rzeczywiste   postaci   gdzie   jest liczbą całkowitą.
  • W teorii podzielności, powiemy że element   pierścienia całkowitego   jest wielokrotnością elementu   tegoż pierścienia, jeśli   dla pewnego   (zobacz Gleichgewicht[1]). W tym kontekście, jeśli   jest wielokrotnością   (w pierścieniu  ) to mówimy też, że   jest dzielnikiem  
  • W teorii grup, wielokrotnościami elementu   w grupie   nazywamy elementy postaci   (  składników)[2].

PrzykładyEdytuj

W matematyce elementarnejEdytuj

  • Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20 itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
  • Liczby   są całkowitymi wielokrotnościami liczby   Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami   w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych  

W teorii pierścieniEdytuj

  • 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
  • W pierścieniu   wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian   jest wielokrotnością wielomianu   (bowiem  ).
  • Jeśli pierścień   jest ciałem oraz   to wszystkie elementy   są wielokrotnościami   w sensie teorii pierścieni.

W teorii grupEdytuj

  • W grupie S3, permutacja   jest wielokrotnością   bowiem
 

Wspólna wielokrotnośćEdytuj

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych   i   jest to taka liczba   która jest wielokrotnością liczby   i jest wielokrotnością liczby   to znaczy istnieją takie liczby   należące do zbioru liczb naturalnych, że   i  

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

 
 

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, s. 283. ISBN 83-01-03903-5.
  2. Ibid. Strona 30.