Otwórz menu główne

Dzielnik

liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą
Ten artykuł dotyczy pojęcia w matematyce. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.

Spis treści

Dzielnikliczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą. W matematyce elementarnej dzielnikiem nazywa się dowolną liczbę, przez którą się dzieli. W notacji matematycznej stwierdzenie „ jest dzielnikiem ” zapisuje się jako [1].

DefinicjaEdytuj

Niech   będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Liczba   jest dzielnikiem liczby   jeżeli istnieje taka liczba   że spełnione jest równanie

 

Mówi się wtedy, że   dzieli   bądź   jest podzielne przez   i zaznacza się symbolicznie   Liczbę   nazywa się z kolei wielokrotnością liczby  

Nazwa dzielnik ma swoją motywację w operacji dzielenia arytmetycznego: jeżeli

 

to   nazywa się dzielną,   – dzielnikiem, a  ilorazem.

Własności i dalsze definicjeEdytuj

Prawdziwe są następujące reguły:

  • Jeżeli   i   to   Więcej,   dla dowolnych liczb całkowitych   oraz  
  • Jeżeli   i   to   co oznacza, że podzielność jest przechodnia.
  • Jeżeli   i   to   lub  

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Swoisty wyjątek stanowi tutaj liczba zero, ponieważ dzielenie jej przez nią samą oraz liczbę do niej przeciwną (czyli w obu przypadkach przez zero) zostało uznane przez matematyków za działanie o nieoznaczonym wyniku (patrz: Dzielenie przez zero). Dzielniki   liczby   nazywa się dzielnikami trywialnymi, wszystkie pozostałe nazywa się z kolei nietrywialnymi; liczby mające dzielniki nietrywialne nazywa się liczbami złożonymi, zaś te, które nie mają nietrywialnych dzielników nazywa się liczbami pierwszymi. Dzielnikiem właściwym liczby nazywa się każdy jej dodatni dzielnik, który jest od niej różny.

Podwielokrotnością liczby   nazywa się każdą taką liczbę   dla której   jest liczbą naturalną, w ten sposób   jest wielokrotnością   W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

  • iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się   (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
  • dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek   dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja   (zob. funkcja τ; stosuje się również oznaczenia   oraz  ), z kolei suma dzielników danej liczby wyznaczona jest za pomocą funkcji   (zob. funkcja σ).

PrzykładyEdytuj

Liczba   dzieli liczbę   ponieważ  

Dzielniki liczby   należą do zbioru   przy czym   są dzielnikami trywialnymi, zaś   są nietrywialne. Liczba   ma cztery dzielniki dodatnie, zatem   ich suma wynosi   dlatego  

UogólnieniaEdytuj

Definicję można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Jeżeli   i   to elementy   oraz   nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem

 

jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:

 

gdzie   jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli   to dla dowolnej liczby   takiej, że   zachodzi również   Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie   oraz  ). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i nie będące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu   który jest równocześnie dzielnikiem   nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych   jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Graham, Knuth i Patashnik 2006 ↓, s. 124. Choć autorzy w swojej pracy preferują notację  

BibliografiaEdytuj

  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 2003, s. 121. ISBN 83-7469-189-1.
  • Andrzej Mostowski, Marcel Stark: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1974.
  • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Z języka angielskiego przełożyli Piotr Chrząstowski, Artur Czumaj, Leszek Gąsieniec, Marek Raczunas. Wyd. 4. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2006. ISBN 83-01-14764-4.