Dzielnik

liczba całkowita dzieląca bez reszty inną liczbę całkowitą

Dzielnik – dwuznaczne pojęcie arytmetyczne:

  • drugi, prawy argument dzielenia – jeśli to nazywa się dzielną, – dzielnikiem, a – ilorazem[1]. Tak rozumiany dzielnik odpowiada mianownikowi ułamka;
Relacja podzielności wprowadza częściowy porządek w zbiorze liczb naturalnych; można go przedstawić przez diagram Hassego.
  • liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą[1]. To, że liczba dzieli liczbę oznacza, że iloraz jest całkowity; zapisuje się to[2]: Formalnie:

Innymi słowy druga z tych liczb jest iloczynem tej pierwszej i jakiejś innej całkowitej:

Dzielnik liczby to każda liczba, której wielokrotnością jest ta zadana; relacja bycia dzielnikiem – czyli podzielność – to relacja odwrotna do bycia wielokrotnością[potrzebny przypis]. Ta definicja jest nieco szersza – dzielenie przez zero nie jest określone, przez co zero nie może być dzielnikiem w pierwszym znaczeniu[1]; z drugiej strony zero ma wielokrotność – równą jemu samemu, przez co w dalszej części artykułu przyjęto, że zero dzieli samo siebie

Relacja podzielności to jeden z fundamentów arytmetyki, zarówno elementarnej, jak i teoretycznej (teorii liczb). Przez podzielność definiuje się podstawowe typy liczb naturalnych jak liczba parzysta, pierwsza czy złożona, działania jak największy wspólny dzielnik (NWD) oraz inne relacje jak względna pierwszość i przystawanie (kongruencja). O podzielności liczb mówią niektóre twierdzenia jak lemat Euklidesa.

Pojęcie dzielnika wprowadza się też w bardziej ogólnych strukturach algebraicznych jak półgrupy, zwłaszcza pierścienie.

Przykłady i odmiany edytuj

 
Liczby dodatnich dzielników kolejnych liczb naturalnych – ciąg ten jest znany jako funkcja tau (τ).

Liczba   dzieli liczbę   ponieważ   Poniższa tabela przedstawia podzielność jednocyfrowych liczb naturalnych – wypełnienie komórki oznacza, że liczba z początku wiersza (po lewej) dzieli liczbę z początku kolumny (na górze):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 |
1 | | | | | | | | | |
2 | | | | |
3 | | | |
4 | | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Te dzielniki są znane jako trywialne[potrzebny przypis], a pozostałe jako nietrywialne. Liczba   ma osiem dzielników:   przy czym cztery z nich   są trywialne. Jedynka i liczby pierwsze mają wyłącznie trywialne dzielniki, za to zero i liczby złożone mają też inne (nietrywialne).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja tau   przykładowo  

Dzielnik właściwy liczby to każdy dodatni różny od niej samej[3][4]; liczba   ma trzy dzielniki właściwe   Liczby pierwsze można zdefiniować jako takie, które mają dokładnie jeden dzielnik właściwy: jedynkę.

Dalsze własności edytuj

 
Krata dodatnich dzielników liczby 60.
  • Wspomniany fakt, że każda liczba dzieli siebie samą, nazywa się zwrotnością podzielności.
  • Podzielność jest przechodnia:  
  • Relacje o tych dwóch cechach – zwrotne i przechodnie – nazywa się praporządkami.
  • Liczby wzajemnie podzielne mają równy moduł (wartość bezwzględną) – są sobie równe lub przeciwne:  
  • W szczególności oznacza to, że wzajemnie podzielne liczby naturalne są sobie równe; relacje o tej własności nazywa się antysymetrycznymi.
  • Antysymetryczne praporządki są znane jako porządek częściowy; parę   zalicza się do struktur zwanych posetami. Ten konkretny należy do krat, ponieważ dla każdej pary liczb naturalnych istnieją największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), pełniące role kresów – odpowiednio dolnego (infimum) i górnego (supremum).
  • Zbiór dodatnich dzielników danej liczby też tworzy kratę.
  • Dzielnik dwóch liczb jest też dzielnikiem ich sumy[5]:   Co więcej,   dla dowolnych liczb całkowitych   oraz  [potrzebny przypis]. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi:   ale dwójka nie dzieli żadnego z tych składników.
  • Istnieją sposoby, żeby sprawdzić podzielność dwóch liczb bez całej procedury dzielenia z resztą. Metody te opierają się na cechach podzielności – warunkach równoważnych tej własności; przykładowo dla sprawdzenia podzielności przez 3 i 9 wystarczy znać sumę cyfr liczby w zapisie dziesiętnym.

Uogólnienia edytuj

Podwielokrotnością liczby   nazywa się każdą taką liczbę   dla której   jest liczbą naturalną, w ten sposób   jest wielokrotnością   W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:

  • iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się   (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
  • dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek   dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Definicję dzielnika można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Jeżeli   i   to elementy   oraz   nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem

 

jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:

 

gdzie   jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli   to dla dowolnej liczby   takiej, że   zachodzi również   Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie   oraz  ). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu   który jest równocześnie dzielnikiem   nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych   jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. a b c dzielnik, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-08-05].
  2. Graham, Knuth i Patashnik 2006 ↓, s. 124. Choć autorzy w swojej pracy preferują notację  
  3.   Sebastian Guz, Podzielność w zbiorze liczb naturalnych – dzielenie z resztą i bez reszty, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-10].
  4.   Sebastian Guz, Dzielniki i wielokrotności, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-10].
  5.   Paweł Idziak, Bartłomiej Bosek i Piotr Micek, Matematyka dyskretna 1. Wykład 10: Teoria liczb, 2. Podstawowe pojęcia, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-05].

Bibliografia edytuj

Literatura dodatkowa edytuj