Liczby względnie pierwsze

Liczby względnie pierwsze – liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden. Symbolicznie dla liczb $a,b,c,\dots d$ zapisuje się to: ${\mbox{NWD}}(a,b,c,\dots ,d)=1.$ W przypadku dwóch liczb $a,b$ używa się też znaku prostopadłości: $a\perp b.$

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej $n$ jest liczbą liczb naturalnych między 1 a $n,$ które są względnie pierwsze z $n$.

Zbiory o więcej niż dwóch elementach mogą mieć własność względnej pierwszości parami – kiedy każde dwie różne liczby są względnie pierwsze: $\forall a,b\in A:a\neq b\Rightarrow a\perp b.$ Względna pierwszość całego zbioru jest logicznie słabsza od tej parami; przykładowo liczby ze zbioru {2,3,4} są względnie pierwsze, ale nie są względnie pierwsze parami, ponieważ 2|4.

Relację względnej pierwszości definiuje się też dla ideałów w ogólnych pierścieniach, co opisuje dalsza sekcja.

Przykłady

• Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
• Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
• Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

Poniższa tabela zaznacza względną pierwszość liczb z zakresu 0–9:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0		$\perp$
1	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$
2		$\perp$		$\perp$		$\perp$		$\perp$		$\perp$
3		$\perp$	$\perp$		$\perp$	$\perp$		$\perp$	$\perp$
4		$\perp$		$\perp$		$\perp$		$\perp$		$\perp$
5		$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$		$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$
6		$\perp$				$\perp$		$\perp$
7		$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$	$\perp$		$\perp$	$\perp$
8		$\perp$		$\perp$		$\perp$		$\perp$		$\perp$
9		$\perp$	$\perp$		$\perp$	$\perp$		$\perp$	$\perp$

Własności

Względna pierwszość jako relacja dwuargumentowa ma szereg własności:

• nie jest zwrotna; żadna liczba większa od jedynki nie jest względnie pierwsza ze sobą;
• nie jest też przeciwzwrotna, ponieważ $1\perp 1;$
• jest symetryczna, ponieważ NWD jest działaniem przemiennym;
• nie jest przechodnia (tranzytywna); przykładowo $2\perp 3$ i $3\perp 2,$ ale dwójka nie jest względnie pierwsza ze sobą;
• nie jest też przeciwprzechodnia (atranzytywna) ze względu na względną pierwszość jedynki ze sobą samą $(1\perp 1).$
• implikuje, że ich najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb równa się ich iloczynowi: $a\perp b\Rightarrow {\mbox{NWW}}(a,b)=ab.$
• warunkiem równoważnym względnej pierwszości liczb $a,b$ jest, aby istniały liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie: $ax+by=1.$

Przedostatnie twierdzenie nie uogólnia się na większą liczbę czynników; przykładowo ${\mbox{NWD}}(4,6,9)=1,{\mbox{NWW}}(4,6,9)=36,\ 4\cdot 6\cdot 9=216.$

Na to, aby liczby $a_{1},\dots ,a_{n}$ były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite $k_{1},\dots ,k_{n}$ spełniające równanie:

$k_{1}a_{1}+\ldots +k_{n}a_{n}=1.$

Uogólnienie

W pierścieniu przemiennym z jedynką $R$ ideały $I$ i $J$ nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna $I+J$ jest całym pierścieniem.

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych: $a$ i $b$ są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element $d$ dzieli $a$ i dzieli $b$ wynika, że $d$ jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w $\mathbb {Z}$ (bo $\mathbb {Z}$ jest dziedziną ideałów głównych).

Zobacz też

• funkcja φ

Bibliografia

• WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-13] .
• AdamA. Neugebauer AdamA., Matematyka olimpijska 1. Algebra i teoria liczb, wyd. 1, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-13] .

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Relatively Prime, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Mutually-prime numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].