Liczby względnie pierwsze

liczby całkowite, których jedynym wspólnym dzielnikiem jest 1

Liczby względnie pierwszeliczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest jeden.
Liczby parami względnie pierwsze – liczby całkowite, wśród których każde dwie różne są względnie pierwsze.

Fakt, że liczby są względnie pierwsze, zapisuje się symbolicznie

Szybkim sposobem określenia, czy dwie liczby są względnie pierwsze jest algorytm Euklidesa. Funkcja Eulera dodatniej liczby całkowitej jest liczbą liczb naturalnych między 1 a które są względnie pierwsze z

PrzykładyEdytuj

  • Liczby 6 i 35 są względnie pierwsze, ale 6 i 27 nie są, gdyż obie są podzielne przez 3.
  • Liczba 1 jest względnie pierwsza z każdą liczbą całkowitą.
  • Liczby 10, 12 i 15 są względnie pierwsze, ale nie są parami względnie pierwsze (najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb wynosi 60, a nie 10·12·15 = 1800).

WłasnościEdytuj

Jeżeli dwie liczby są względnie pierwsze, to ich najmniejsza wspólna wielokrotność równa jest ich iloczynowi. Twierdzenie to nie uogólnia się na większą liczbę czynników, co pokazuje przykład:  

Na to, aby liczby   były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite   i   spełniające równanie

 

Ogólniej:
Na to, aby liczby   były względnie pierwsze, potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby całkowite   spełniające równanie

 

UogólnienieEdytuj

W pierścieniu przemiennym z jedynką   ideały   i   nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich suma algebraiczna   jest całym pierścieniem.

W dziedzinach ideałów głównych można przyjąć następującą definicję elementów względnie pierwszych:   i   są względnie pierwsze jeśli z faktu, że pewien element   dzieli   i dzieli   wynika, że   jest odwracalny. Jest ona równoważna temu, że ideały generowane przez te elementy są względnie pierwsze. W pierścieniach niebędących dziedzinami ideałów głównych te pojęcia nie muszą się pokrywać.

Liczby względnie pierwsze generują ideały względnie pierwsze w   (bo   jest dziedziną ideałów głównych).

Zobacz teżEdytuj