Prostopadłość

Prostopadłość – relacja między dwiema prostymi, dwiema płaszczyznami, między prostą a płaszczyzną, między parą krzywych lub wektorów.

• Dwie proste są prostopadłe, gdy tworzą przystające kąty przyległe.
• Prosta $a$ i płaszczyzna $b$ są prostopadłe, gdy prosta $a$ jest prostopadła do każdej prostej przecinającej prostą $a$ i zawartej w płaszczyźnie $b$.
• Dwie płaszczyzny $a$ i $b$ są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w płaszczyźnie $a$ i prostopadła do płaszczyzny $b$.

Prosta $AB$ jest prostopadła do $CD$ w punkcie $B,$ ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90°.

Jeżeli dwie proste są prostopadłe, to kąt przez nie utworzony nazywa się kątem prostym. Jego miarą jest ½π radianów lub 90°.

Prostopadłość oznacza się znakiem $\perp .$ Przykładowo zapis $AB\perp CD$ oznacza, ze prosta AB jest prostopadła do prostej CD.

Prostopadłość jest relacją symetryczną, przy czym:

• nie jest zwrotna, tylko przeciwzwrotna (żadna prosta nie jest prostopadła do siebie samej),
• nie jest przechodnia. Jeśli $k\perp l$ oraz $l\perp m,$ to $k\parallel m.$

Twierdzenie o istnieniu prostej prostopadłej

Dla dowolnej prostej $a$ i dowolnego punktu $P$ istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt $P$ i prostopadła do prostej $a$.

Konstrukcja

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej $AB$ i przechodzącą przez punkt $P$ kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

• krok 1: nakreślić okrąg o środku $P,$ w celu znalezienia na prostej $AB$ punktów $A'$ i $B'$ równoodległych od $P;$
• krok 2: nakreślić okręgi o środkach w $A'$ oraz $B',$ które przechodzącą przez $P;$ punkt $Q$ będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;
• krok 3: połączyć $P$ oraz $Q,$ aby skonstruować szukaną prostopadłą $PQ.$

Aby udowodnić, że $PQ$ rzeczywiście jest prostopadła do $AB$ wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów $QPA'$ oraz $QPB',$ które zapewnia o równości miar kątów $OPA'$ i $OPB'.$ Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów $OPA'$ oraz $OPB',$ otrzymuje się równość miar kątów $POA$ i $POB.$

Związek z równoległością

Proste $a$ i $b$ są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną $c.$

W geometrii euklidesowej każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe. Podobnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Zilustrowano to na rys. obok. Jeżeli dwie proste ($a$ oraz $b$) są obie prostopadłe do trzeciej prostej $(c),$ to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste $a$ oraz $b$ są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

• jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;
• jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;
• prosta $c$ jest prostopadła do prostej $a;$
• prosta $c$ jest prostopadła do prostej $b.$

Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie $xy$ mogą być opisane równaniami

$ax+by+e=0$ oraz $cx+dy+f=0.$

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $ac+bd=0.$

Dla prostych nierównoległych do osi $y$ równania mogą przybrać postać:

$y=ax+b$ oraz $y=cx+d.$

Wielkości $a$ oraz $c$ nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności $ac=-1.$

Prosta prostopadła do prostej o równaniu $ax+by+e=0$ i przechodząca przez punkt $(p,q)$ ma równanie:

$b(x-p)=a(y-q).$

Prostopadłość w przestrzeni

Dla dowolnej płaszczyzny $a$ i dowolnego punktu $b$ istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt $b$ i prostopadła do płaszczyzny $a$.

Dla dowolnej prostej $a$ i dowolnego punktu $b$ istnieje dokładnie jedna płaszczyzna przechodząca przez punkt $b$ i prostopadła do prostej $a$.

Dla dowolnych dwóch prostych skośnych istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do nich obu jednocześnie.

Dane są 2 wektory:

${\overrightarrow {\mathbf {OP} }}={\begin{bmatrix}x_{1},&y_{1},&z_{1}\end{bmatrix}},$

${\overrightarrow {\mathbf {OQ} }}={\begin{bmatrix}x_{2},&y_{2},&z_{2}\end{bmatrix}}.$

Dla uproszczenia zakładamy, że początki obu tych wektorów znajdują się w tym samym punkcie, jakim jest początek układu współrzędnych $O=(0,0,0).$ Wówczas długości tych wektorów wynoszą odpowiednio:

$|{\overrightarrow {\mathbf {OP} }}|={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},$

$|{\overrightarrow {\mathbf {OQ} }}|={\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}.$

Natomiast odległość ich końców od siebie jest równa:

$|PQ|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}.$

Powyższe 3 wartości są długościami odpowiednich odcinków, które razem tworzą trójkąt $OPQ.$ Aby nasze wektory były względem siebie prostopadłe, trójkąt ten musi być prostokątny, a więc spełniać twierdzenie Pitagorasa:

$|PQ|^{2}=|OP|^{2}+|OQ|^{2}.$

Podstawiamy odpowiednie wyrażenia:

$({\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}})^{2}=({\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}})^{2}+({\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}})^{2}.$

Pierwiastki uproszczają się z kwadratami, a więc zostają jedynie same wyrażenia podpierwiastkowe:

$(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}.$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, opuszczamy nawiasy:

$x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2}+z_{1}^{2}-2z_{1}z_{2}+z_{2}^{2}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}$

Po redukcji wyrazów podobnych z obu stron powyższego równania, przyjmuje ono postać:

$-2x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}-2z_{1}z_{2}=0\;\;\;|:(-2).$

Ostatecznie, po podzieleniu obu stron równania przez -2, otrzymujemy szukany warunek na prostopadłość obu wektorów w przestrzeni:

$x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0.$

Powyższe wyrażenie, będące kombinacją liniową naszych wektorów, można zapisać również w postaci ich iloczynu skalarnego:

${\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OQ}}=0.$

Zobacz też

• ortogonalność
• płaszczyzna normalna
• równoległość

Linki zewnętrzne

• Definicja: prostopadłość (ang.) wraz z animacją interaktywną
• Jak narysować prostopadłą dwusieczną odcinka za pomocą cyrkla i linijki (ang.); animowany pokaz
• Jak narysować prostopadłą w wierzchołku kąta za pomocą cyrkla i linijki (ang.); animowany pokaz