Prostopadłość

Prostopadłośćrelacja między dwiema prostymi, dwiema płaszczyznami, między prostą a płaszczyzną, między parą krzywych lub wektorów[1].

  • Dwie proste są prostopadłe, gdy tworzą przystające kąty przyległe[2].
  • Prosta i płaszczyzna są prostopadłe, gdy prosta jest prostopadła do każdej prostej przecinającej prostą i zawartej w płaszczyźnie [3].
  • Dwie płaszczyzny i są prostopadłe, gdy istnieje prosta zawarta w płaszczyźnie i prostopadła do płaszczyzny [4].
Prosta jest prostopadła do w punkcie ponieważ dwa kąty przez nie tworzone (oznaczone odpowiednio kolorem pomarańczowym i niebieskim) mają miarę 90 stopni.

Jeżeli dwie proste są prostopadłe, to kąt przez nie utworzony nazywa się kątem prostym. Jego miarą jest ½π radianów lub 90°.

Prostopadłość oznacza się znakiem Przykładowo zapis oznacza, ze prosta AB jest prostopadła do prostej CD.

Prostopadłość jest relacją symetryczną, przy czym:

  • nie jest zwrotna, tylko przeciwzwrotna (żadna prosta nie jest prostopadła do siebie samej),
  • nie jest przechodnia. Jeśli oraz to .

Twierdzenie o istnieniu prostej prostopadłejEdytuj

Dla dowolnej prostej   i dowolnego punktu   istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt   i prostopadła do prostej  [5].

KonstrukcjaEdytuj

Zgodnie z oznaczeniami jak na rysunku obok prostopadłą do prostej   i przechodzącą przez punkt   kreśli się za pomocą cyrkla i linijki w następujący sposób:

  • krok 1: nakreślić okrąg o środku   w celu znalezienia na prostej   punktów   i   równoodległych od  
  • krok 2: nakreślić okręgi o środkach w   oraz   które przechodzącą przez   punkt   będzie oznaczać drugi z punktów przecięcia tych okręgów;
  • krok 3: połączyć   oraz   aby skonstruować szukaną prostopadłą  

Aby udowodnić, że   rzeczywiście jest prostopadła do   wystarczy skorzystać z twierdzenia o przystawaniu BBB dla trójkątów   oraz   które zapewnia o równości miar kątów   i   Następnie korzystając z twierdzenia o przystawaniu BKB dla trójkątów   oraz   otrzymuje się równość miar kątów   i  

Związek z równoległościąEdytuj

 
Proste   i   są równoległe, co pokazano strzałkami i są przecięte prostą transwersalną  

W geometrii euklidesowej każde dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe. Podobnie, jeżeli prosta jest prostopadła do innej, to jest prostopadła do każdej prostej równoległej do tej drugiej.

Zilustrowano to na rys. obok. Jeżeli dwie proste (  oraz  ) są obie prostopadłe do trzeciej prostej   to wszystkie stworzone na trzeciej prostej kąty są proste. Wszystkie zacieniowane na pomarańczowo kąty są przystające; podobnie kąty zacieniowane na zielono, ponieważ kąty wierzchołkowe są przystające, a naprzemianległe kąty wewnętrzne wyznaczone przez prostą transwersalną przecinającą proste równoległe są przystające. Stąd jeżeli proste   oraz   są równoległe, to jedno z następujących stwierdzeń pociąga pozostałe:

  • jeden z kątów na diagramie jest kątem prostym;
  • jeden z zacieniowanych na pomarańczowo kątów jest przystający do jednego z zacieniowanych na zielono;
  • prosta   jest prostopadła do prostej  
  • prosta   jest prostopadła do prostej  

Geometria analitycznaEdytuj

W kartezjańskim układzie współrzędnych dowolne dwie proste na płaszczyźnie   mogą być opisane równaniami

  oraz  

Są one prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy  

Dla prostych nierównoległych do osi   równania mogą przybrać postać:

  oraz  

Wielkości   oraz   nazywa się współczynnikami kierunkowymi tych prostych. Warunek prostopadłości sprowadza się wtedy do zależności  

Prosta prostopadła do prostej o równaniu   i przechodząca przez punkt   ma równanie:

 

Prostopadłość w przestrzeniEdytuj

Dla dowolnej płaszczyzny   i dowolnego punktu   istnieje dokładnie jedna prosta przechodząca przez punkt   i prostopadła do płaszczyzny  [6].

Dla dowolnej prostej   i dowolnego punktu   istnieje dokładnie jedna płaszczyzna przechodząca przez punkt   i prostopadła do prostej  [7].

Dla dowolnych dwóch prostych skośnych istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do nich obu jednocześnie[8].

Dane są 2 wektory:

 
 

Dla uproszczenia zakładamy, że początki obu tych wektorów znajdują się w tym samym punkcie, jakim jest początek układu współrzędnych   Wówczas długości tych wektorów wynoszą odpowiednio:

 
 

Natomiast odległość ich końców od siebie jest równa:

 

Powyższe 3 wartości są długościami odpowiednich odcinków, które razem tworzą trójkąt   Aby nasze wektory były względem siebie prostopadłe, trójkąt ten musi być prostokątny, a więc spełniać twierdzenie Pitagorasa:

 

Podstawiamy odpowiednie wyrażenia:

 

Pierwiastki uproszczają się z kwadratami, a więc zostają jedynie same wyrażenia podpierwiastkowe:

 

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, opuszczamy nawiasy:

 

Po redukcji wyrazów podobnych z obu stron powyższego równania, przyjmuje ono postać:

 

Ostatecznie, po podzieleniu obu stron równania przez -2, otrzymujemy szukany warunek na prostopadłość obu wektorów w przestrzeni:

 

Powyższe wyrażenie, będące kombinacją liniową naszych wektorów, można zapisać również w postaci ich iloczynu skalarnego:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. prostopadłość, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-14].
  2. Karol Borsuk, Wanda Szmielew: Podstawy Geometrii. Wyd. III poprawione. Warszawa: PWN, 1972, s. 119. Definicja 59.1.D.
  3. Borsuk, op. cit., s. 124 Definicja 64.1.D.
  4. Borsuk, op. cit., s. 127 Definicja 65.1.D.
  5. Borsuk, op. cit., s. 119 Twierdzenie 59.2.T, 59.3.T.
  6. Borsuk, op. cit., s. 126 Twierdzenie 64.4.T.
  7. Borsuk, op. cit., s. 125 Twierdzenie 64.3.T.
  8. Marek Kordos, Lesław W. Szczerba Geometria dla nauczycieli str. 221 Twierdzenie 2.14.T.

Linki zewnętrzneEdytuj