Otwórz menu główne

Przestrzeń unitarna

przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny
Ten artykuł dotyczy uogólnienia iloczynu skalarnego na abstrakcyjne przestrzenie liniowe. Zobacz też: standardowy iloczyn skalarny w przestrzeniach euklidesowych.

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska)przestrzeń liniowa (wektorowa), w której zdefiniowano dodatkowo iloczyn skalarny. Iloczyn skalarny jest tu uogólnieniem iloczynu skalarnego zdefiniowanego dla przestrzeni rzeczywistych.

Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie wielkości geometrycznych (bądź ich uogólnienie), takich jak:

  • norma wektora (czyli długość wektora),
  • metryka (odległość wektorów przestrzeni),
  • kąt między wektorami, ortogonalność wektorów,
  • długości krzywych, pola powierzchni, objętości brył
  • itd.

Przestrzenie unitarne, które są ponadto zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego) nazywa się przestrzeniami Hilberta. Przestrzenie te są studiowane w analizie funkcjonalnej. W związku z tym dowolne przestrzenie unitarne – niekoniecznie zupełne – nazywane są czasem prehilbertowskimi.

Spis treści

Definicja iloczynu skalarnegoEdytuj

Niech:

(1)   jest przestrzenią liniową nad ciałem   liczb rzeczywistych lub zespolonych (  lub  ).

(2)   jest funkcjonałem na   takim że dowolnym wektorom   przyporządkowuje liczbę  

Definicja:

Funkcję   nazywa się iloczynem skalarnym (iloczynem wewnętrznym), jeżeli dla dowolnych wektorów   spełnia następujące warunki:

  • warunek sprzężonej symetrii
     
gdzie
 sprzężenie zespolone liczby  
  • warunek liniowości ze względu na pierwszą zmienną, tj.
    1.  
    2.  
gdzie   – dowolna liczba z ciała  
  • warunek niezdegenerowania, tj.
jeśli   to  
  • warunek dodatniej określoności, tj.
 

Definicja przestrzeni unitarnejEdytuj

Przestrzenią unitarną nazywa się parę: przestrzeń liniową   wraz ze zdefiniowanym na niej iloczynem skalarnym   wektorów.

WłasnościEdytuj

(1) Iloczyn skalarny wyżej zdefiniowany jest półtoraliniowy, tzn. liniowy ze względu na jeden i antyliniowy ze względu na drugi argument. Wybór, który z argumentów jest liniowy, a który antyliniowy jest całkowicie dowolny i stosuje się obie możliwości:

  • matematycy zwykle przyjmują antyliniowość ze względu na drugi argument.
  • fizycy zwykle przyjmują antyliniowość ze względu na pierwszy argument, co ułatwia stosowanie notacji Diraca w mechanice kwantowej (wyciąga się skalary z ketów, które reprezentują wektory; w konsekwencji trzeba sprzęgać w sposób zespolony skalary przy wyciąganiu z bra, które reprezentują funkcjonały liniowe); konwencję okazjonalnie stosują też matematycy.

(2) Iloczyn skalarny na przestrzeni rzeczywistej

Jeżeli iloczyn skalarny jest definiowany na przestrzeni rzeczywistej, to warunek sprzężonej symetrii sprowadza się do warunku zwykłej symetrii, gdyż sprzężenie zespolone liczby rzeczywistej jest równe jej samej. Wtedy iloczyn skalarny jest dwuliniowy. Dlatego iloczyn skalarny można wtedy definiować jako dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy.

(3) Niezbędne jest ograniczenie ciała funkcjonału do   oraz   gdyż np.

(4) Rozważa się także przestrzenie liniowe z funkcjonałami spełniającymi powyższe postulaty z pominięciem postulatu dodatniej określoności. Więcej na ten temat jest w dalszej części artykułu.

(5) Odwzorowanie z   w przestrzeń dualną   dane wzorem

 

jest izomorfizmem. Odwzorowanie to oznacza, że wektorowi   przypisuje się funkcjonał, który działając na dowolny wektor, przypisuje mu wartość iloczynu skalarnego z wektorem   Izomorfizm oznacza, że przyporządkowanie to jest wzajemnie jednoznaczne.

Dowód: Bezpośrednio z liniowości ze względu na pierwszą zmienną wynika, że jest to homomorfizm przestrzeni liniowych. Łatwo sprawdza się, że odwzorowanie to jest również iniektywne:

  dla każdego   wtedy i tylko wtedy, gdy  

W skończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych warunek ten jest wystarczający do stwierdzenia, iż jest to izomorfizm.

Konwencje oznaczeńEdytuj

(1) Niektórzy autorzy stosują konwencję:

  oznacza liniowość ze względu na pierwszy argument,
  oznacza liniowość ze względu na drugi argument,

– ale nie jest to regułą (np. Emch [1972] się do niej nie stosuje).

(2) Istnieją również inne symbole iloczynu skalarnego:

 

lub po prostu

 

który jest oznaczeniem standardowego iloczynu skalarnego w przestrzeniach euklidesowych.

Norma i metryka a iloczyn skalarnyEdytuj

Norma generowana przez iloczyn skalarnyEdytuj

Definicja normy

Iloczyn skalarny pozwala określić normę wektora, czyli jego długość, jako pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora z samym sobą

 

Można sprawdzić, że powyższa definicja spełnia aksjomaty normy.

Mówimy, że iloczyn skalarny generuje normę. Z tego też względu każda przestrzeń unitarna jest także unormowana.

Tw. Tak otrzymana norma spełnia tożsamość równoległoboku:

 

Metryka generowana przez normęEdytuj

Funkcja określona dla dowolnych

 

jest metryką. Mówimy wtedy, że metryka jest generowana przez normę.

Kąt między wektorami

Korzystając z powyższej definicji normy, możemy zdefiniować kąt między wektorami   oraz   jako:

 

Iloczyn skalarny generowany przez normęEdytuj

W każdej przestrzeni unormowanej, w której norma spełnia tożsamość równoległoboku można wprowadzić iloczyn skalarny wzorem

 

Wzór ten jest słuszny tylko dla przestrzeni rzeczywistych.

Przestrzeń współrzędnych zespolonychEdytuj

W  -wymiarowej przestrzeni współrzędnych zespolonych wprowadza się strukturę przestrzeni unitarnej.

(1) Iloczyn skalarny dany jest wzorem

 

gdzie   oznacza sprzężenie zespolone liczby  

(2) Norma wyznaczona przez ten iloczyn zdefiniowana jest naturalnie jako

 

(3) Metryka (odległość punktów w przestrzeni) ma także naturalną postać

 

Ze względu na algebraiczną domkniętość ciała   pewne aspekty teorii takich przestrzeni okazują się prostsze i bardziej spójne niż dla przestrzeni euklidesowych.

Przykłady przestrzeni unitarnychEdytuj

(1) W przestrzeni liczb rzeczywistych   iloczyn skalarny definiuje się wzorem

 

Przestrzeń   jest trywialną (najprostszą) przestrzenią unitarną.

(2) W przestrzeni euklidesowej   dla   oraz   iloczyn skalarny definiuje się wzorem

 

Przestrzeń   z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unitarną.

(3) W przestrzeni funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, całkowalnych z kwadratem na pewnym przedziale   iloczyn skalarny danym jest wzorem

 

Przestrzeń funkcji z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unitarną.

(4) W przestrzeni funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej, całkowalnych z kwadratem na pewnym przedziale   iloczyn skalarny danym jest wzorem

 

gdzie   – sprzężenie zespolone liczby  

Nierówność SchwarzaEdytuj

Dla dowolnych wektorów   i   spełniona jest nierówność

 

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   i  liniowo zależne.

Ortogonalność wektorówEdytuj

(1) Definicja: Wektory   i   nazywamy ortogonalnymi, gdy zeruje się ich iloczyn skalarny, tj.

 

(2) Jeżeli wektory   i   są ortogonalne, to oznacza się to symbolem  

(3) Ortogonalność jest uogólnieniem geometrycznego pojęcia prostopadłości w przestrzeniach kartezjańskich.

(4) cosinus kąta zawartego między dwoma wektorami ortogonalnymi jest równy zero.

(5) Jeżeli układ wektorów   spełnia warunek   dla   to nazywamy go układem ortogonalnym.

(6) Tw. Każdy układ ortogonalny jest liniowo niezależny.

(7) Jeżeli układ ortogonalny jest bazą przestrzeni   wtedy mówimy o bazie ortogonalnej.

(8) Tw. Z każdej bazy przestrzeni unitarnej można otrzymać bazę ortogonalną.

Proces tworzenia bazy ortogonalnej z dowolnej bazy nazywa się ortogonalizacją. Najczęściej stosowana jest metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta.

Zdegenerowane iloczyny skalarneEdytuj

Jeżeli   jest przestrzenią liniową, a   półokreślonym funkcjonałem półtoraliniowym, to funkcja

 

spełnia wszystkie własności normy poza warunkiem

 

Takie funkcjonały nazywane są półnormami.

Przestrzeń unitarna może być określona przez rozważenie ilorazu   Funkcjonał półtoraliniowy   faktoryzuje się przez  

Ta konstrukcja znalazła zastosowanie w wielu miejscach. Konstrukcja Gelfanda-Najmarka-Segala jest szczególnie ważnym przykładem tej techniki, inną jest reprezentacja półokreślonych jąder na dowolnych zbiorach.

Motywacja. Formy hermitowskieEdytuj

W rozdziale tym uzasadnimy, dlaczego definicja iloczynu skalarnego dla przestrzeni liniowych zespolonych jest inna niż dla przestrzeni rzeczywistych.

Mianowicie: ważne w zastosowaniach operatory liniowe określone nad ciałem liczb zespolonych tworzą przestrzeń liniową. Aby z przestrzeni tej uczynić przestrzeń o subtelniejszej strukturze (tj. przestrzeń unitarną, unormowaną, metryczną), nie można postąpić tak jak w przestrzeniach liniowych nad ciałem liczb rzeczywistych, tj. definiować iloczyn skalarny w postaci formy dwuliniowej   gdyż odpowiadająca jej forma kwadratowa   miałyby własność

 

– jeden z wektorów   lub   miałby długość ujemną. Dlatego wprowadzono definicję funkcjonału półtoraliniowego   który jest liniowy ze względu na jedną ze współrzędnych, ale antyliniowy ze względu na drugą, tzn. przykładowo:

  jest liniowe dla dowolnego  
  jest antyliniowe dla dowolnego  

Formę półtoraliniową   nazywa się hermitowską, jeśli dla dowolnych   spełnia ona równość

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer, 2004.
  • G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley Interscience, 1972.
  • N. Young, An Introduction to Hilbert Spaces, Cambridge University Press, 1988.