Przekształcenie antyliniowe

Przekształcenie antyliniowe (przekształcenie półliniowe) – rodzaj przekształcenia między zespolonymi przestrzeniami liniowymi.

Definicja

Niech $V$ oraz $W$ będą dowolnymi zespolonymi przestrzeniami liniowymi. Przekształcenie $f\colon V\to W$ nazywamy przekształceniem antyliniowym (przekształceniem półliniowym), gdy

$f(ax+by)={\overline {a}}f(x)+{\overline {b}}f(y)$

dla każdego $a,b\in \mathbb {C}$ oraz $x,y\in V.$

Własności

• Złożenie dwóch odwzorowań antyliniowych jest zespolonym odwzorowaniem liniowym.
• Odwzorowanie antyliniowe $f\colon V\to W$ może być równoważnie opisane jako ${\overline {f}}\colon V\to {\overline {W}},$ czyli przekształcenie przestrzeni liniowej $V$ w sprzężoną przestrzeń liniową zespoloną ${\overline {W}}.$

Przykład

Niech $H_{1},H_{2}$ będą zespolonymi przestrzeniami Hilberta. Jeżeli $T_{1},T_{2}\colon H_{1}\to H_{2}$ są ciągłymi i liniowymi operatorami oraz $a,b\in \mathbb {C} ,$ to

$(aT_{1}+bT_{2})^{\star }={\overline {a}}T_{1}^{\star }+{\overline {b}}T_{2}^{\star },$

gdzie $T_{i}^{\star }$ jest operatorem sprzężonym z operatorem $T_{i},\;i\in \{1,2\}.$ Zatem sprzężenie hermitowskie ciągłych i liniowych operatorów przestrzeni Hilberta jest przekształceniem antyliniowym.

Zobacz też

• sprzężenie zespolone
• forma półtoraliniowa