Otwórz menu główne
Przestrzeń liniowa to zbiór elementów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzeń liniowa (przestrzeń wektorowa)zbiór elementów (nazywanych wektorami), w którym określono dwa działania:

  • dodawanie wektorów,
  • skalowanie wektorów, czyli mnożenie wektorów przez liczby (nazywane skalarami) z ustalonego ciała,

przy czym działania te muszą spełniać poniżej wymienione aksjomaty (patrz Definicja).

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe:

Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładami są: (1) zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych – wielomian jest wektorem niegeometrycznym; (2) zbiór macierzy kwadratowych tego samego wymiaru – macierz jest wektorem niegeometrycznym (por. przykłady przestrzeni liniowych).

Przestrzenie liniowe stanowią podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Spis treści

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych   lub liczb zespolonych  ).

Ciało to nazywa się ciałem skalarów, elementy ciała nazywa się skalarami.

Definicja:

Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem   nazywa się zbiór   z określonymi w nim dwoma działaniami dwuargumentowymi:

(1) dodawanie wektorów: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru   na zbiór     które dowolnym wektorom   przyporządkowuje pewien wektor   nazywany sumą wektorów   co symbolicznie zapisuje się w postaci

 

(2) mnożenie przez skalar: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru   i ciała     które dowolnemu wektorowi   i dowolnej liczbie   przyporządkowuje pewien wektor   co symbolicznie zapisuje się w postaci

 

przy czym działania te spełniają poniższe aksjomaty:

  1. Dodawanie wektorów jest łączne, tj. dla dowolnych   jest
     
  2. Dodawanie wektorów jest przemienne, tj. dla dowolnych   jest
     
  3. Dodawanie wektorów ma element neutralny, tj. istnieje taki element   nazywany wektorem zerowym, że dla dowolnego   jest
     
  4. Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne, tj. dla każdego   istnieje element   nazywany wektorem przeciwnym do   taki że
     
  5. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, tj. dla każdego   oraz   jest
     
  6. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:, tj. dla każdych   oraz   zachodzi
     
  7. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów, tj. dla dowolnych   oraz   jest
     
  8. Jeśli 1 jest jedynką ciała  , to dla dowolnego  
     

Uwaga:

Pierwsze cztery warunki czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

Przestrzeń liniowa rzeczywista i zespolonaEdytuj

Def. Przestrzenią liniową rzeczywistą nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych,  

Def. Przestrzenią liniową zespoloną nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb zespolonych  

Informacje uzupełniająceEdytuj

(1) Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem   jest strukturą matematyczną   w której:

  •   jest grupą abelową (aksjomaty 1–4),
  •   jest ciałem,

wyposażoną w działanie   (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5–8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem  ). W ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

(2) Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar,   oraz mnożenie skalarów (z ciała),  

(3) Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

  1. Przestrzeń   jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
    jeżeli   to  
  2. Przestrzeń   jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
    jeżeli   to  

Jednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie   co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów.

(4) Aksjomaty domkniętości są zaś niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

(5) Wyrażenia postaci „ ”, gdzie   oraz   ściśle rzecz ujmując, są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „ ” oraz „ ” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa   jest algebrą nad ciałem   to dla   oraz   zachodzi   co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „ ” i „ ” jako reprezentacji tego samego wektora.

(6) Symbol   pomija się często dla działania mnożenia w ciele, rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.

Podstawowe twierdzeniaEdytuj

 
Suma wektorów. Wektor v jest dodany do wektora w.
 
Mnożenie wektorów. Wektor v jest mnożony przez 2, a następnie dodany do w.

Następujące twierdzenia można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

Tw. 1: Wektor zerowy   jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli

  oraz  
to:
 

Tw. 2: Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego   jest:

 

Tw. 3: Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego   zachodzi

 

gdzie   – element neutralny dodawania w  

Tw. 4: Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.

 
wtedy i tylko wtedy, gdy
  lub  

Tw. 5: Wektor   odwrotny względem dodawania do   jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli

  są odwrotnościami   takimi, że
  oraz  
to
 

Wektor   nazywa się wektorem przeciwnym do  

Definicja (różnicy wektorów):

Różnicą wektora   i wektora   nazywa się wektor, który jest sumę wektora   i wektora przeciwnego do wektora   tj.
 

Tw. 6: Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego   mamy

 

gdzie   oznacza element odwrotny względem mnożenia w  

Tw. 7: Ujemność jest całkowicie przemienna, tj. dla każdego   oraz   zachodzi

 

Baza i wymiar przestrzeni liniowejEdytuj

Definicja powłoki liniowejEdytuj

Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów   nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową).

Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorówEdytuj

Mówi się, że dany zbiór wektorów   rozpina przestrzeń liniową, jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.

Definicja liniowej niezależności wektorówEdytuj

Jeżeli spośród wektorów   rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest liniowo niezależny.

Definicja bazy przestrzeni liniowejEdytuj

Bazą przestrzeni   nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów   który rozpina przestrzeń  

Twierdzenie o istnieniu bazyEdytuj

Każda przestrzeń liniowa ma bazę.

Dowód: Dowiódł tego Felix Hausdorff na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla, w oparciu o lemat Kuratowskiego-Zorna.

Twierdzenie o równoliczności bazEdytuj

Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.

Dowód: Wynika to ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI).

Definicja wymiaru przestrzeni liniowejEdytuj

Jeśli   jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni  

Wymiar przestrzeni oznacza się symbolem  

Np. Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej   czyli   wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru  [a].

Uwaga:

Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r.)Edytuj

Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru[1].

Definicja podprzestrzeniEdytuj

Definicja 1:

Niepusty podzbiór   przestrzeni liniowej   zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:
  1. przestrzeń   jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
    jeżeli   to  
  2. przestrzeń   jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
    jeżeli   to  

Definicja 2 (równoważna)

Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).

Wynika stąd, że:

Baza podprzestrzeni i jej wymiar są zadane przez bazę i wymiar tego zbioru, traktowanego jako niezależna przestrzeń liniowa.

PrzykładyEdytuj

Przekształcenia linioweEdytuj

Osobny artykuł: przekształcenie liniowe.

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych   oraz   nad tym samym ciałem   można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z   do   Są to funkcje   zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów i iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z   do   oznaczany   sam stanowi przestrzeń liniową nad   Jeżeli dane są bazy   i   przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe   które jest jednocześnie bijekcją przestrzeni   na przestrzeń   Jeśli istnieje izomorfizm między   a   to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli   jest bazą przestrzeni   to   jest bazą przestrzeni   Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie  -wymiarowe nad ciałem   są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych   Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy   lub gdy   są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio   i   oraz   i   jest odwzorowanie   dla  

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem   wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią abelową.

Iloczyn przestrzeni liniowychEdytuj

Jeśli   są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem   to w iloczynie kartezjańskim   można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej, definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:

 
 

dla  

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni  

Dodatkowe strukturyEdytuj

Przestrzeń liniowa jest wzbogacana o dodatkowe struktury.

Przestrzeń liniowa z topologiąEdytuj

Definiuje się dodatkowo topologię w przestrzeni liniowej. W szczególności otrzyma się przestrzeń liniowo-topologiczną, jeśli działania dodawania wektorów i mnożenie przez skalarciągłe. Topologia określona na przestrzeni liniowej umożliwia wprowadzenie struktury jednostajnej. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to można na niej określić więcej niż jedną nierównoważną topologię

Przestrzeń unormowanaEdytuj

Przestrzeń unormowana to przestrzeń liniowa nad ciałem   lub   z dodatkowo zdefiniowaną normą, która określa długość wektorów.

Przestrzeń unitarnaEdytuj

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) to przestrzeń liniowa z dodatkowo zdefiniowanym iloczynem skalarnym dla wektorów.

Przestrzeń Banacha / przestrzeń HilbertaEdytuj

Przestrzeń unormowana / unitarna[b], zupełna ze względu na metrykę generowaną przez normę/normę pochodzącą od iloczynu skalarnego to przestrzeń Banacha/przestrzeń Hilberta. Np. w mechanice kwantowej wektor stanu układu fizycznego definiuje się jako wektor w przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie liniowo-topologiczneEdytuj

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami przestrzeni liniowo-topologicznych, to znaczy przestrzeni liniowych (ciałem liczb R lub C) wyposażonych w topologię[c] zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe[d].

Szerszą klasyfikację tych przestrzeni omówiono w artykule przestrzenie liniowo-topologiczne. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie zbieżności (za pomocą topologii, metryki, normy), oraz rozważa się sumę nieskończonej liczby wektorów (tzw. szeregi).

Algebra nad ciałemEdytuj

Algebra nad ciałem to przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów.

Uporządkowana przestrzeń liniowaEdytuj

Uporządkowana przestrzeń liniowa to przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni porządkiem częściowym wektorów.

UogólnieniaEdytuj

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ustalonym ciałem   Dużą część algebry liniowej można uprawiać, opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania   oraz   w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia   bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe), nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne

 

Alternatywny zestaw aksjomatówEdytuj

Aksjomaty 3. i 4. można zastąpić następującym aksjomatem 9.:

Dla dowolnych   zachodzi  

Poniższy dowód równoważności pochodzi z A Note on the Independence of the Axioms for a Vector Space A. J. van der Poortena.

Przy założeniu aksjomatów 1. i 2. oraz 5.–9. mamy

  oraz
 

skąd wynika, że   jest elementem neutralnym i   jest elementem przeciwnym do  

Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.–8. jest

 
 

A więc w szczególności   dla dowolnego   a zatem zachodzi 9.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Wektory te są liniowo niezależne.
  2. Nad.
  3. Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy aksjomat oddzielania.
  4. W sensie topologii produktowej odpowiednio w:   i  

PrzypisyEdytuj

  1. Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.