Otwórz menu główne
Diagram Venna: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

DefinicjaEdytuj

Niech   będą zbiorami. Jeżeli każdy element   jest jednocześnie elementem   to zbiór   nazywa się podzbiorem zbioru  [1][2][3]. W zapisie logicznym:

 

inaczej fakt ten można wyrazić jako

 [2].

Jeżeli   jest podzbiorem   to sam zbiór   nazywa się nadzbiorem zbioru  [2] i oznacza  

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru   należy do   to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór   zbioru   nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc   W przeciwnym wypadku, czyli gdy   oraz   zbiór   nazywa się podzbiorem właściwym zbioru  [2] i oznacza   Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

ZapisEdytuj

W starszych pozycjach (np. w podręcznikach Kuratowskiego[1][3] i Rasiowej[2]) do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole   oraz   a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków   i   na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych[a][4][5]. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli   i   nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole   i   na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

ZawieranieEdytuj

Dla dowolnego zbioru   prawdziwe jest zdanie:

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów   zachodzą następujące fakty:

  • dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),
     [6][3],
  • zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe[6][1] (antysymetria),
     
  • podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),
     [6][8].

Relacja   jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym[9][10]. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją[1][2][3]. Dlatego też dla danych zbiorów   pozostających z sobą w relacji   mówi się obok „  jest podzbiorem  ”, że   zawiera się bądź jest zawarty w   Analogiczne wyrażenie   obok „  jest nadzbiorem  ” czyta się   zawiera  

Relacja   ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściweEdytuj

Podobnie rzecz ma się z relacjami   oraz   które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów  

  • żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),
     
  • podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),
     

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

  • podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),
     

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

PrzykładyEdytuj

  • zbiór   jest podzbiorem (właściwym) zbioru  
  • zbiór   zawiera się w  
  • zbiór   nie jest podzbiorem zbioru  
  • zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
  • zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
  • zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np.  

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj