Podzbiór

Zbiór matematyczny zawarty w innym zbiorze

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem[1], zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Diagram Venna: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

DefinicjaEdytuj

Niech   będą zbiorami. Jeżeli każdy element   jest jednocześnie elementem   to zbiór   nazywa się podzbiorem zbioru  [2][3][4]. W zapisie logicznym:

 

Jeżeli   jest podzbiorem   to sam zbiór   nazywa się nadzbiorem zbioru  [3] i oznacza  

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru   należy do   to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór   zbioru   nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc   W przeciwnym wypadku, czyli gdy   oraz   zbiór   nazywa się podzbiorem właściwym zbioru  [3] i oznacza   Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

ZapisEdytuj

Do oznaczenia podzbioru bądź nadzbioru niekiedy wykorzystuje się jedynie symbole  [5] oraz  , a bycie podzbiorem (nadzbiorem) właściwym jest wtedy zaznaczane obok. Występuje to m.in. w starszych pozycjach, np. w podręcznikach Kuratowskiego[2][4] i Rasiowej[3]. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków   i   na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych[a][6][7].

Część autorów przyjęła nową konwencję, a część nie, przez co znaczenie symboli   i   nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole   i   na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

ZawieranieEdytuj

Dla dowolnego zbioru   prawdziwe jest zdanie:

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów   zachodzą następujące fakty:

  • dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),
     [8][4],
  • zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe[8][2] (antysymetria),
     
  • podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),
     [8][10].

Relacja   jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym[11][12]. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją[2][3][4]. Dlatego też dla danych zbiorów   pozostających z sobą w relacji   mówi się obok „  jest podzbiorem  ”, że   zawiera się bądź jest zawarty w   Analogiczne wyrażenie   obok „  jest nadzbiorem  ” czyta się   zawiera  

Relacja   ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściweEdytuj

Podobnie rzecz ma się z relacjami   oraz   które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów  

  • żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),
     
  • podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),
     

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

  • podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),
     

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

PrzykładyEdytuj

  • zbiór   jest podzbiorem (właściwym) zbioru  
  • zbiór   zawiera się w  
  • zbiór   nie jest podzbiorem zbioru  
  • zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
  • zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
  • zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np.  

PrzypisyEdytuj

  1. nadzbiór, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-14].
  2. a b c d Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 8.
  3. a b c d e Rasiowa 1975 ↓, s. 10.
  4. a b c d Kuratowski 1980 ↓, s. 21.
  5. podzbiór, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-14].
  6. Ross i Wright 1998 ↓, s. 17.
  7. Tiuryn 1998 ↓, s. 4.
  8. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 12.
  9. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 10.
  10. Kuratowski 1980 ↓, s. 22.
  11. Rasiowa 1975 ↓, s. 112.
  12. Kuratowski 1980 ↓, s. 74.

BibliografiaEdytuj