Podzbiór

Zbiór matematyczny zawarty w innym zbiorze

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem[1], zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Diagram Venna: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

DefinicjaEdytuj

Niech   będą zbiorami. Jeżeli każdy element   jest jednocześnie elementem   to zbiór   nazywa się podzbiorem zbioru  [2][3][4]. W zapisie logicznym:

 

Jeżeli   jest podzbiorem   to sam zbiór   nazywa się nadzbiorem zbioru  [3] i oznacza  

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru   należy do   to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór   zbioru   nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc   W przeciwnym wypadku, czyli gdy   oraz   zbiór   nazywa się podzbiorem właściwym zbioru  [3] i oznacza   Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

ZapisEdytuj

Do oznaczenia podzbioru bądź nadzbioru niekiedy wykorzystuje się jedynie symbole  [5] oraz   a bycie podzbiorem (nadzbiorem) właściwym jest wtedy zaznaczane obok. Występuje to m.in. w starszych pozycjach, np. w podręcznikach Kuratowskiego[2][4] i Rasiowej[3]. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków   i   na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych[a][6][7].

Część autorów przyjęła nową konwencję, inni pozostali przy dotychczasowej. W wyniku tego znaczenie symboli   i   stało się nieprecyzyjne. Z czasem wprowadzono symbole   i   na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

ZawieranieEdytuj

Dla dowolnego zbioru   prawdziwe jest zdanie:

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów   zachodzą następujące fakty:

  • dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),
     [8][4],
  • zbiory będące swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe[8][2] (antysymetria),
     
  • podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),
     [8][10].

Relacja   jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym[11][12]. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją[2][3][4]. Dlatego też dla danych zbiorów   pozostających z sobą w relacji   mówi się obok „  jest podzbiorem  ”, że   zawiera się bądź jest zawarty w   Analogiczne wyrażenie   obok „  jest nadzbiorem  ” czyta się   zawiera  

Relacja   ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania[b]. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściweEdytuj

Podobnie rzecz ma się z relacjami   oraz   które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności[c]; dla dowolnych zbiorów  

  • żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),
     
  • podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),
     

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

  • podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),
     

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

PrzykładyEdytuj

  • zbiór   jest podzbiorem (właściwym) zbioru  
  • zbiór   zawiera się w  
  • zbiór   nie jest podzbiorem zbioru  
  • zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
  • zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
  • zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np.  
  2. Relację   można sformalizować na poziomie języka uznając, że   jest po prostu innym sposobem zapisu  
  3. Raz jeszcze można uznać, że   to inny sposób zapisu   mianowicie wyrażenie   jest tożsame  

PrzypisyEdytuj

  1. nadzbiór, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-14].
  2. a b c d Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 8.
  3. a b c d e Rasiowa 1975 ↓, s. 10.
  4. a b c d Kuratowski 1980 ↓, s. 21.
  5. podzbiór, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-03-14].
  6. Ross i Wright 1998 ↓, s. 17.
  7. Tiuryn 1998 ↓, s. 4.
  8. a b c d Rasiowa 1975 ↓, s. 12.
  9. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 10.
  10. Kuratowski 1980 ↓, s. 22.
  11. Rasiowa 1975 ↓, s. 112.
  12. Kuratowski 1980 ↓, s. 74.

BibliografiaEdytuj