Liczby całkowite

liczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich

Liczby całkowiteliczby naturalne oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero[1]. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie.

Oś liczbowa ukazująca niektóre liczby całkowite
Standardowy symbol zbioru liczb całkowitych

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy się symbolem , od niemieckiego Zahl – liczba[potrzebny przypis]. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia[2], choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol inicjał nazwy polskiej[potrzebny przypis].

Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Definicja formalna edytuj

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru   relacji równoważności

 

Intuicyjnie   reprezentuje różnicę  

Niech   oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest   Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze   definiuje się jako:

 
 

Liczby   dla których   nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby   dla których   nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Własności edytuj

Algebraiczne edytuj

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera[potrzebny przypis].

Zerem tego pierścienia jest   elementem przeciwnym do   jest element   Jedynką jest  

Podzbiór elementów postaci   jest izomorficzny z  

Ponieważ   oraz   elementem przeciwnym do   więc

 

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczność edytuj

Zbiór liczb całkowitych   jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych   gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna   przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

 

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

Linki zewnętrzne edytuj

  • Eric W. Weisstein, Integer, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-02-02].
  •   Integer (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].