Otwórz menu główne

Liczby całkowite

liczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich

Liczby całkowiteliczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w większości szkół podstawowych i średnich, w celu ułatwienia skojarzenia z polską nazwą, stosuje się symbol przy czym MEN zaleca używanie oznaczenia [1].

Definicja formalnaEdytuj

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru   relacji równoważności

 

Intuicyjnie   reprezentuje różnicę  

Niech   oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest   Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze   definiuje się jako:

 
 

Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.

Zerem tego pierścienia jest   elementem przeciwnym do   jest element   Jedynką jest  

Podzbiór elementów postaci   jest izomorficzny z  

Ponieważ   oraz   elementem przeciwnym do   więc

 

Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.

Liczby   dla których   nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby   dla których   nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

LicznośćEdytuj

Zbiór liczb całkowitych   jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych   gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna   przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj