Otwórz menu główne

Dziedzina całkowitościniezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

Nieprzemienne dziedziny całkowitości nazywa się dziedzinami, wiele pozycji jednak się nimi nie zajmuje (ograniczając się do klasy pierścieni przemiennych), nazywając dziedziny całkowitości w skrócie również dziedzinami. Inną nazwą dziedziny całkowitości, pochodzącą od Langa, jest pierścień całkowity.

WłasnościEdytuj

  • Niech   będzie dziedziną całkowitości. Jeżeli   przy czym   to zachodzi własność skracania:
jeśli   to  
Dowód: Niech   Jeśli   to   czyli   Ale w pierścieniu   nie ma dzielników zera, więc   Stąd  
  • Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
    Dowód: Zbiór niezerowych elementów ciała jest grupą, tzn. iloczyn niezerowych elementów jest różny od zera.
  • Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
    Dowód: Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu   jego iloczyny ze wszystkimi   elementami pierścienia:   Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np.   dla pewnych   Ale z własności skracania wynika   wbrew temu, że   są różnymi elementami.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj