Otwórz menu główne

Pierścień (matematyka)

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: pierścień kołowy w geometrii oraz pierścień zbiorów.

Pierścieństruktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie algebrą, w której   jest pewnym niepustym zbiorem, symbole   oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a   jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli:

  • struktura   jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem   nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym   nazywanym zerem:
     
     
     
     
  • struktura   jest półgrupą z działaniem   nazywanym mnożeniem:
     
  • oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności:
     
     

Ponieważ   jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do   względem dodawania (element   z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany  

WariantyEdytuj

Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury:

  • pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia nazywanego jedynką[1]:
     
  • pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
     
Uwaga
W pierścieniu z jedynką struktura   jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

RodzajeEdytuj

Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

  • pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej):
     
  • pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):
     

Element odwrotny do   (względem mnożenia;   w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami   lub   Zbiór   elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest  

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera[2], to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

PrzykładyEdytuj

Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:

Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:

Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów   jednej zmiennej   o współczynnikach z pierścienia   W   zachowywane są następujące własności pierścienia   przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli   jest ciałem, to   jest pierścieniem euklidesowym.

Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

SkładoweEdytuj

PodpierścienieEdytuj

Osobny artykuł: podpierścień.

Podzbiór   pierścienia   nazywa się podpierścieniem, jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia   czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z  

  •  
  •  

Pierwszy warunek oznacza, że   musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z   będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

IdeałyEdytuj

Osobny artykuł: ideał (teoria pierścieni).

Podgrupę   grupy addytywnej pierścienia   nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów   oraz   spełniony jest warunek

 

Jeżeli   spełnia w zamian warunek

 

to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

W dowolnym nietrywialnym pierścieniu   istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień   i podpierścień trywialny   nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia  

  • ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
  • ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym  
  • ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.

Elementy wyróżnioneEdytuj

Element   pierścienia   nazywa się

  • dzielnikiem zera, gdy istnieje taki niezerowy element   że  
  • idempotentnym, gdy  
  • nilpotentnym, gdy istnieje   dla którego  

W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

HomomorfizmyEdytuj

Przekształcenie   między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów   spełnione są warunki:

  •  
  •  

nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.

Przekształcenie   między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów   spełnione są warunki:

  •  
  •  
  •  

nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.

Pierścień ilorazowyEdytuj

Osobny artykuł: pierścień ilorazowy.

W dowolnym pierścieniu   grupa ilorazowa   gdzie   jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:

  •  
  •  

Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia   przez ideał   i również oznacza się symbolem  

Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy:   oraz   Równość

 

dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.

Uogólnienia i przypadki szczególneEdytuj

Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania, wykluczając przy tym przypadek pierścienia zerowego, przybliżając definicję pierścienia do określenia ciała.
  2. Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego   istnieje element odwrotny   Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie   że   Lewostronne mnożenie stronami przez   daje   z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem  

BibliografiaEdytuj

  • Andrzej Białynicki-Birula, Algebra.
  • Jerzy Browkin, Teoria ciał.