Otwórz menu główne

Twierdzenie Hilberta o bazie

Twierdzenie Hilberta o bazie – twierdzenie mówiące, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów[1].

Twierdzenie to zostało udowodnione przez Davida Hilberta w przypadku szczególnym pierścienia wielomianów nad ciałem przy okazji dowodu twierdzenia o skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Dowód Hilberta był niekonstruktywny i wykorzystywał indukcję matematyczną; nie wskazywał algorytmu wyodrębniania skończonej bazy wielomianów dla danego ideału; pokazywał jedynie, że baza taka istnieje. Konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy wielomianów oparta jest na bazie Gröbnera.

Inne sformułowania twierdzenia Hilberta o bazieEdytuj

  1. Niech   będzie pierścieniem wielomianów   zmiennych o współczynnikach z pierścienia  . Jeśli   jest pierścieniem noetherowskim, to   również jest pierścieniem noetherowskim[2][3].
  2. Jeśli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia   jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia   jest skończony[2].

PrzypisyEdytuj

  1. van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967.; wyd. ros., Moskwa 1976, s. 439-444
  2. a b Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.; wyd. ros., Moskwa 1972, s. 99-102
  3. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, s.178, Twierdzenie 62

BibliografiaEdytuj

  • Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
  • van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967.