Otwórz menu główne

Spis treści

Ideałpodzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przez Dedekinda jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i, szczególnie, przez Emmę Noether.

Ideały odgrywają w teorii pierścieni rolę analogiczną do podgrup normalnych w teorii grup.

Definicja formalnaEdytuj

W dalszej części artykułu pierścienie nie są koniecznie przemienne oraz nie muszą mieć jedynki.

Ideałem pierścienia   nazywa się każdy podzbiór   pierścienia   o tej własności, że:

  1.   jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia;
  2. jeśli   oraz   to  
  3. jeśli   oraz   to  

W przypadku, gdy   jest pierścieniem przemiennym warunki 2. i 3. są równoważne.

Warunkowi 1. równoważny jest następujący warunek:

1′.   jest niepusty oraz   dla wszelkich  

Uwaga: W kontekście pierścieni, które są algebrami (nad pewnym ciałem) zakłada się dodatkowo, że   jest podprzestrzenią liniową algebry   Uwaga ta dotyczy również ideałów jednostronnych zdefiniowanych niżej.

Ideały jednostronneEdytuj

Podobnie definiuje się ideały jednostronne w pierścieniu  

  • podzbiór   pierścienia   jest ideałem lewostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 2.
  • podzbiór   pierścienia   jest ideałem prawostronnym, gdy spełnia warunki 1. i 3.

W przypadku, gdy   jest nieprzemienny, dla odróżnienia, ideał (zbiór spełniający warunki 1., 2. i 3.) nazywa się ideałem dwustronnym albo ideałem obustronnym.

Generowanie ideałówEdytuj

Niech   będzie podzbiorem pierścienia   Część wspólna dowolnej rodziny dwu-/lewo-/prawostronnych ideałów w   jest nadal ideałem o danej własności. Obserwacja ta pozwala na definicję ideału dwu-/lewo-/prawostronnego generowanego przez zbiór   (  nazywany jest wówczas zbiorem generatorów). I tak, symbolami       oznacza się część wspólną rodziny wszystkich ideałów, odpowiednio, dwu-/lewo-/prawostronnych zawierających zbiór   (w każdym przypadku rodzina ideałów zawierających   jest niepusta, gdyż należy do niej ideał   rozważanie części wspólnej ma zatem sens).

Wyżej zdefiniowane ideały generowane przez zbiór   można opisać jawnie:

 
 
 

W przypadku, gdy pierścień   ma jedynkę „wyrazy wolne”     w powyższych wzorach można pominąć.

Ideały generowane przez zbiór skończony nazywa się ideałami skończenie generowanymi. Ideały generowane przez zbiór jednoelementowy („generowane przez jeden element”) nazywane są ideałami głównymi.

Typy ideałówEdytuj

Z definicji natychmiast wynika, że sam pierścień   jest ideałem (dwu-/lewo-/prawostronnym). Ideały pierścienia   które są różne od   nazywane są ideałami właściwymi. W przypadku pierścieni z jedynką, ideał   jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera jedynki pierścienia.

Ideały maksymalneEdytuj

Osobny artykuł: ideał maksymalny.

Ideał (dwu-/lewo-/prawostronny)   nazywany jest ideałem maksymalnym, gdy nie istnieje ideał właściwy, w którym jest on zawarty w sposób właściwy. Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna (a więc aksjomatu wyboru) można udowodnić następujące twierdzenie:

  • Twierdzenie Krulla: Każdy ideał (dwu-/lewo/-prawostronny) jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Ponadto,

  • Ideał   (dwustronny) jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy   jest pierścieniem z dzieleniem (bądź ciałem, gdy   jest przemienny).

Ideały pierwszeEdytuj

Niech   będzie pierścieniem przemiennym. Ideał   pierścienia   nazywa się ideałem pierwszym, gdy spełnia on następujący warunek:

jeżeli   to   lub  

Często używa się również w definicji warunku równoważnego:

jeżeli   oraz   nie należy do   to  

Każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Ponadto, ideał   jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy   nie ma nietrywialnych dzielników zera (tj.   jest dziedziną całkowitości).

Ideały pierwsze w teorii pierścieni pełnią rolę liczb pierwszych w teorii liczb.

Pierścień w którym każdy ideał jest ideałem pierwszym nazywany jest pierścieniem ideałów pierwszych.

PrzykładyEdytuj

  • W dowolnym pierścieniu zbiór   jest ideałem, zwanym trywialnym.
  • Zbiór wszystkich elementów pierścienia   jest ideałem w tym pierścieniu (zwanym niewłaściwym).
  • W pierścieniu   liczb całkowitych przykładem ideału jest zbiór wszystkich liczb parzystych. Ideałem jest również zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 9. Ogólniej, każdy ideał pierścienia   jest zbiorem wszystkich liczb podzielnych przez pewną liczbę naturalną   Zatem   jest pierścieniem ideałów głównych. Ideał pierścienia   jest pierwszy, wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem liczb podzielnych przez pewną liczbę pierwszą.
  • Jedynymi ideałami dowolnego ciała są ideał trywialny (złożony z samego zera) i niewłaściwy (całe ciało).
  • Jeśli   jest homomorfizmem pierścieni, to jego jądro   jest ideałem w pierścieniu  
  • Zbiór elementów nieodwracalnych pierścienia   tworzy ideał wtedy i tylko wtedy, gdy   zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny.
  • Grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych ciała liczb hiperrzeczywistych[1].

Operacje na ideałachEdytuj

Suma algebraiczna ideałów   i   pierścienia   czyli zbiór

 

jest również ideałem w pierścieniu  

Zbiór wszystkich iloczynów elementów dwóch ideałów   i   nie musi być ideałem. Dlatego przez   rozumie się ideał generowany przez te iloczyny. Zatem:

 

Część wspólna ideałów   również jest ideałem, podczas gdy teoriomnogościowa suma ideałów   nie musi być ideałem, ale zawsze jest podzbiorem ideału  

Część wspólna wszystkich ideałów pierwszych zawierających ideał   w pierścieniu   nazywana jest radykałem ideału   w pierścieniu  

Własności operacji na ideałachEdytuj

  • Wszystkie trzy powyższe operacje są łączne i przemienne.
  • Iloczyn ideałów jest rozdzielny względem dodawania.
  • Część wspólna ideałów jest modularna względem dodawania: jeśli   to  
  •  
  • Ideały   nazywamy ideałami względnie pierwszymi, jeśli   Na podstawie poprzedniego przykładu oznacza to, że   a ponieważ   więc dla ideałów względnie pierwszych zachodzi równość  
  • Przeciwobraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem. Jeżeli   jest homomorfizmem i I jest ideałem P to   jest ideałem R. (przeciwobraz podgrupy jest podgrupą, iloczyn elementu   i elementu z jądra przechodzi na 0, więc jest w przeciwobrazie I, iloczyn z elementem spoza jądra przechodzi na element z I z definicji ideału i homomorfizmu).
  • Obraz ideału przy epimorfizmie jest ideałem. Ogólniej obraz ideału przy homomorfizmie jest ideałem obrazu pierścienia przy homomorfizmie (niekoniecznie ideałem pierścienia, w który prowadzi homomorfizm).

PrzypisyEdytuj

  1. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751.