Otwórz menu główne

Ideał głównyideał (lewo-, prawo- bądź dwustronny) generowany przez podzbiór jednoelementowy pierścienia. Jeżeli jest elementem pierścienia z jedynką, to:

  • prawostronny ideał główny jest równy
  • lewostronny ideał główny jest równy
  • dwustronny ideał główny jest równy

Jeśli jest pierścieniem przemiennym to powyższe zbiory są równe. W takim przypadku ideał generowany przez element pierścienia oznacza się . Mówi się, że jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w są główne. Dodatkowo, gdy jest przemienny, nazywa się go dziedziną ideałów głównych.

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli   i   są niezerowymi elementami pierścienia   to   wtedy i tylko wtedy, gdy   przy czym   oznacza relację stowarzyszenia tj.       dzieli   oraz   dzieli  
  • Jeżeli   jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów   jest główny.

PrzykładyEdytuj

  • Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych   jest ideałem głównym i jest postaci
 
  • Niech dany będzie pierścień macierzy typu 2×2 o elementach z pierścienia liczb całkowitych. Elementem tego pierścienia jest na przykład macierz   Ideał główny lewostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci   gdzie   i   są dowolnymi liczbami całkowitymi, natomiast ideał główny prawostronny generowany przez tę macierz składa się z macierzy postaci   gdzie   i   są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że prawostronne i lewostronne ideały główne generowane przez ten sam element nie muszą być równe.
  • Jeśli pierścień jest dziedziną Euklidesa, to jest pierścieniem ideałów głównych.

BibliografiaEdytuj