Otwórz menu główne

Dziedzina Euklidesa

Dziedzina Euklidesa (albo pierścień Euklidesa, pierścień euklidesowy) – najbardziej ogólny typ pierścieni, w którym możliwe jest wyznaczenie największego wspólnego dzielnika za pomocą algorytmu Euklidesa.

DefinicjaEdytuj

Dziedzinę całkowitości   nazywa się dziedziną Euklidesa (albo pierścieniem Euklidesa, pierścieniem euklidesowym), jeżeli istnieje taka funkcja

 

(nazywana normą), że

  •  
  • dla dowolnych   gdzie   istnieją takie   że
 
oraz zachodzi jeden z warunków:   lub  

Czasami dodatkowo przyjmuje się również, że:

  •   dla  

jednak nie jest to konieczne: każda dziedzina całkowitości   która może być wyposażona w funkcję   spełniającą pierwsze dwa warunki, może być również wyposażona w funkcję   spełniającą również trzeci warunek. Istotnie, dla   można zdefiniować   wzorem

 

WłasnościEdytuj

Każdy pierścień Euklidesa jest pierścieniem ideałów głównych.

Dowód. Każdy pierścień Euklidesa jest z definicji dziedziną całkowitości. Należy wykazać, że jeżeli   jest ideałem w pierścieniu Euklidesa   to   dla pewnego   Jeżeli     Niech     w przypadku, gdy   Bez straty ogólności, można przyjąć, że   jest minimalne, tzn.   dla każdego niezerowego   Twierdzimy, że   Ponieważ,   zachodzi inkluzja   należy zatem wykazać inkluzję przeciwną. Niech   Istniają zatem takie   że   Ponieważ   jest minimalne,   czyli zachodzi równość   tj.   co dowodzi inkluzji  

Istnieją pierścienie ideałów głównych, których nie da się wyposażyć w normę (tj. nie są pierścieniami euklidesowymi). Przykładem takiego pierścienia, jest

 

Największy wspólny dzielnik dwóch niezerowych elementów pierścienia Euklidesa można odnaleźć przy pomocy algorytmu Euklidesa. Jeżeli   jest pierścieniem Euklidesa   to można utworzyć taki ciąg równości

 

aby

 

Ciąg taki (jako malejący ciąg liczb całkowitych dodatnich) musi być skończony, zatem dla pewnej liczby naturalnej   zachodzi równość   Dla najmniejszego takiego   reszta   jest największym wspólnym dzielnikiem elementów   Zatem jeśli można wyznaczyć   i   to można wyznaczyć największy wspólny dzielnik   i  

PrzykładyEdytuj

Pierścieniami Euklidesa są:

  • Pierścień liczb całkowitych z normą  
  • Pierścień   liczb całkowitych Gaussa wraz z normą   gdzie  
  • Pierścień   liczb całkowitych Eisensteina z normą   gdzie  
  • Pierścień wielomianów   nad dowolnym ciałem   wyposażony z normę   = stopień wielomianu   jest pierścieniem Euklidesa. Dokładniej, własność ta charakteryzuje ciała pośród pierścieni, gdyż dla dowolnego pierścienia   następujące warunki są równoważne:
    •   jest ciałem,
    • Pierścień wielomianów   jest pierścieniem Euklidesowym,
    • Pierścień wielomianów   jest pierścieniem ideałów głównych.
  • Niech   będzie liczbą pierwszą oraz niech   oznacza rodzinę liczb wymiernych postaci   dla których   nie dzieli   Rodzina   jest podpierścieniem ciała liczb wymiernych. Każdy element pierścienia   może być zapisany w postaci   gdzie   nie dzieli ani   ani   Funkcja   dana wzorem   dla   jest normą, tzn.   jest pierścieniem Euklidesa.