Pierścień ideałów głównych

Pierścień ideałów głównych (także pierścień główny[1]) – pierścień komutatywny, którego każdy ideał jest ideałem głównym[1][2][3]. Jeżeli tylko skończenie generowane ideały są główne, to pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta (por. dziedzina Bézouta).

WłasnościEdytuj

  • Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim, ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.
  • Każde dwa elementy   pierścienia ideałów głównych   mają największy wspólny dzielnik   który daje się zapisać w postaci   dla pewnych  
  • W pierścieniu ideałów głównych   element   jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element,   jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy   jest ciałem.

PrzykładyEdytuj

Pierścieniami głównymi są:

PrzypisyEdytuj

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 299.
  2. Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ​ISBN 978-83-01-14388-6​, ​ISBN 83-01-14388-6​; s. 173, definicja 126.
  3. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 186, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330.

BibliografiaEdytuj