Pierścień ideałów głównych

Pierścień ideałów głównych (także pierścień główny) – pierścień komutatywny, którego każdy ideał jest ideałem głównym. Jeżeli tylko skończenie generowane ideały są główne, to pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta (por. dziedzina Bézouta).

Własności

• Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim, ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.

• Każdy pierścień główny jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

• Każde dwa elementy $a,b$ pierścienia ideałów głównych $P$ mają największy wspólny dzielnik $\operatorname {NWD} (a,b),$ który daje się zapisać w postaci $ax+by$ dla pewnych $x,y\in P.$

• W pierścieniu ideałów głównych $P$ element $q\in P$ jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, $(q)$ jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $P/(q)$ jest ciałem.

• W pierścieniu ideałów głównych każdy ideał pierwszy jest maksymalny.

Przykłady

Pierścieniami głównymi są:

• dziedzina ideałów głównych,
• pierścień Euklidesa,
• pierścień liczb całkowitych,
• pierścień wielomianów o współczynnikach w dowolnym ciele,
• ciało,

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987. Brak numerów stron w książce