Element nierozkładalny
Element nierozkładalny – element nieodwracalny pierścienia całkowitego, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych, tzn. element pierścienia całkowitego jest nierozkładalny, gdy jest on nieodwracalny oraz jeżeli dla pewnych elementów i pierścienia to element albo element jest odwracalny[1].
Przykład edytuj
Jeśli jest ciałem, to każdy wielomian liniowy jest nierozkładalny w pierścieniu Na ogół, w pierścieniu istnieją wielomiany nierozkładalne wyższych stopni, np. wielomian jest nierozkładalny w
![{\displaystyle K[x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455d0a9ea26acd4c13a8dc113f6ec1bce8c3ee52)
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x],\mathbb {Q} [x],\mathbb {R} [x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535de946bb01560af98f0ec8def45f82d69108f8)
Własności edytuj
- Każdy element stowarzyszony z elementem nierozkładalnym jest nierozkładalny.
- Każdy element pierwszy jest nierozkładalny.
- W pierścieniu noetherowskim każdy niezerowy, nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić jako iloczyn elementów nierozkładalnych.
- W pierścieniu ideałów głównych element jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest ciałem.
Zobacz też edytuj
Przypisy edytuj
- ↑ nierozkładalny element, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-03-11].
Bibliografia edytuj
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.