Element pierwszy

Niezerowy element dziedziny całkowitości R.

Element pierwszy – uogólnienie pojęcia liczby pierwszej.

DefinicjaEdytuj

Elementem pierwszym dziedziny całkowitości   nazywamy taki niezerowy element   który nie jest dzielnikiem jedności i dla dowolnych dwóch elementów   jeśli   dzieli iloczyn   to   dzieli   lub   dzieli  [1].

WłasnościEdytuj

  • Jeżeli   jest elementem pierwszym   i dzieli iloczyn dowolnej ilości czynników z   to dzieli on co najmniej jeden z tych czynników.
  • Każdy element pierwszy jest elementem nierozkładalnym, natomiast nie każdy element nierozkładalny jest elementem pierwszym.
  • Dla pierścieni z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest także pierwszy – pojęcia te są wtedy równoważne.
  • Ideał generowany przez element pierwszy jest ideałem pierwszym.

PrzypisyEdytuj

  1. Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 4. Москва: Советская Энциклопедия, 1984, s. 709.