Otwórz menu główne

Ciało (matematyka)

struktura algebraiczna
Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: ciało zbiorów.

Ciałostruktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków) czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

Historia nazwyEdytuj

Pojęcia ciała (bez nadawania mu nazwy) używał już Évariste Galois, który odkrył i sklasyfikował ciała skończone. Później podobnie postąpił Bernhard Riemann (w 1857), którego interesowały ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności. Nazwa Körper (niem. ciało) pojawiła się podobno po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, w sensie zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało. Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne[1] amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

DefinicjaEdytuj

Ciałem nazywa się pierścień przemienny, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny. Mówiąc wprost, ciało   to struktura   taka, że

  • zbiór   zawiera co najmniej dwa elementy oznaczane symbolami   oraz  
  •   jest pierścieniem przemiennym, to znaczy   i   są działaniami w zbiorze   nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem spełniającymi warunki:
 
 
 
 
 
 
 
 
  • każdy niezerowy element jest odwracalny, tzn.:
 

Element 1 nazywa się jedynką lub jednością i jest on elementem neutralnym mnożenia, 0 jest natomiast elementem neutralnym dodawania.

Aksjomat rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala rozróżniać działania mnożenia i dodawania – nie ma rozdzielności w „drugą stronę”. Dlatego wyrażenia postaci   można zapisać prościej jako   Oznacza to, że mnożenie wiąże argumenty silniej niż dodawanie.

Ciało nieprzemienneEdytuj

W literaturze rosyjskiej (тело)[2] oraz francuskiej (corps)[3] w definicji ciała nie wymaga się przemienności. Wtedy ciała przemienne nazywa się polami (ros. поле) lub ciałami przemiennymi (fr. corps commutatif). Pojecie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski[4]. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów[5][6]. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.

WłasnościEdytuj

Wprost z definicji wynika, że ciało nie zawiera właściwych dzielników zera.

W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy   i całe ciało   Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy  

Ciała skończone i nieskończoneEdytuj

Osobny artykuł: ciało skończone.

Ciało o skończonej bądź nieskończonej liczbie elementów nazywa się odpowiednio ciałem skończonym oraz ciałem nieskończonym. Okazuje się, że ciała skończone można łatwo sklasyfikować: każde z nich ma   elementów, gdzie   jest pewną liczbą pierwszą, a   jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.

Podciała i rozszerzeniaEdytuj

Osobne artykuły: rozszerzenie ciałacharakterystyka.

Podciałem ciała   nazywa się taki podzbiór   ciała   który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z  ). Dowolny homomorfizm ciał   jest zanurzeniem, gdyż

 

a więc   dla każdego  

Dla każdego ciała   zawsze istnieje homomorfizm pierścieni   jeżeli   jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała   zawierające pierścień   jest izomorficzne z   a o   mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna   taka, że   i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień   jest izomorficzny z ciałem reszt   i mówi się, że   ma charakterystykę równą  

Jeżeli   jest podciałem ciała   to ciało   nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała   i tę relację między ciałami oznacza się   Charakterystyka   jest równa charakterystyce   i   jest przestrzenią liniową nad   Stopniem   rozszerzenia   nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie   nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.

Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała   jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru   istnieje najmniejsze podciało ciała   Jeśli   jest podciałem ciała   a   – podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała   zawierające   i   oznacza się  

Część wspólna wszystkich podciał ciała   nazywana jest podciałem prostym ciała   Podciało proste jest ciałem prostym.

PrzykładyEdytuj

Ciałami są elementy łańcucha:

liczby wymierneliczby rzeczywisteliczby zespolone.

Strzałki opisują własność bycia podciałem (która jest przechodnia), kierunek odwrotny opisuje rozszerzenia. Wspomniane ciała nie są jedynymi przykładami, ciałem jest np. zbiór liczb p-adycznych   Ciało nie musi być nawet zbiorem liczbowym: funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych (z dowolnego ciała) również są ciałem.

Przykładem ciała skończonego jest ciało Zp, z kolei ciało funkcji wymiernych   jest przykładem ciała nieskończonego dodatniej charakterystyki.

KonstrukcjeEdytuj

  • Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
  •   jest ideałem maksymalnym pierścienia   wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy   jest ciałem.
  • Rozszerzenie   ciała   o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego   to pierścień ilorazowy  
  • Rozszerzenie   ciała   o element przestępny   (ciało funkcji wymiernych zmiennej   nad ciałem  ) to ciało ułamków pierścienia wielomianów  
  • Jeśli ciało   jest podciałem ciała   natomiast   jest podzbiorem   to istnieje najmniejsze podciało   ciała   zawierające   i   jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała   zawierających   i   Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała   razy iloczyn elementów zbioru  
  • Ultraprodukt ciał jest ciałem.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Por. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, hasło „Field”.
  2. Кострикин А.И.: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994, s. 184–185.
  3. Artin E.: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.; tłum. ros. 1969, s. 53.
  4. Pontriagin L.: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961, s. 45.
  5. Pontriagin, op. cit., s. 147.
  6. Berger M.: Géométrie. Paris: Nathan, 1977., tłum. ros., t. 1, s. 14.

BibliografiaEdytuj

  • J. Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.
  • L. Pontriagin: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961.
  • E. Artin: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.
  • M. Berger: Géométrie. Paris: Nathan, 1977.
  • А.И. Кострикин: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994.