Ultraprodukt – sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego).

Uwagi historyczneEdytuj

Niektórzy matematycy twierdzą, że już dowód Kurta Gödla twierdzenia o zupełności rachunku kwantyfikatorów (logiki pierwszego rzędu) z 1930 roku[1] można zinterpretować jako konstrukcję ultrapotęgi[2]. Również konstrukcje rozważane przez Edwina Hewitta w 1948[3] w związku z ciałami rzeczywiście domkniętymi są uznawane za prekursorów ultraproduktów.

Pierwsza systematyczna i ogólna prezentacja ultraproduktów jako narzędzia w teorii modeli była dana przez polskiego matematyka Jerzego Łosia w roku 1955[4].

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie alfabetem języka pierwszego rzędu, czyli zbiorem symboli funkcyjnych i predykatów (symboli relacyjnych). Interpretację symbolu relacyjnego   w modelu   będziemy oznaczać przez   (tak więc   jest relacją  -arną na uniwersum   modelu   gdzie   jest arnością symbolu relacyjnego  ). Podobnie, jeśli   jest  -argumentowym symbolem funkcyjnym, to jego interpretacja w modelu   będzie oznaczana przez   (tak więc,   jest funkcją z   w  ). Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu   wyznaczonego przez alfabet  

Załóżmy, że   jest zbiorem nieskończonym oraz   jest filtrem podzbiorów   Przypuśćmy też, że dla każdego   ustaliliśmy model   z uniwersum  

Definiujemy produkt zredukowany

 

rodziny modeli   w sposób następujący.

(a) Na produkcie kartezjańskim
 
określamy relację dwuczłonową   warunkiem
  wtedy i tylko wtedy, gdy (  oraz)  
Relacja   jest relacją równoważności. Niech   będzie zbiorem klas abstrakcji relacji  
(b) Jeśli   jest  -arnym symbolem relacyjnym, to określamy jego interpretację   następująco:
  wtedy i tylko wtedy, gdy (  oraz)  
Należy zauważyć, że jeśli   są takie, że   (dla  ), to
 
Stąd wynika, że powyższa definicja relacji   jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.
(c) Jeśli   jest  -arnym symbolem funkcyjnym, to określamy jego interpretację   następująco:
przypuśćmy, że   Połóżmy   dla   (tak więc  ). Określamy
 
Tak jak wcześniej, zauważamy, że jeśli   są takie, że   (dla  ), to
 
a więc powyższa definicja funkcji   jest poprawna, tzn. nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

Produkt zredukowany

 

to model z uniwersum   w którym interpretacje symboli z alfabetu   dane są przez opis w (b) i (c).

Jeśli   jest ultrafiltrem (tzn. maksymalnym filtrem właściwym), to model

 

jest nazywany ultraproduktem rodziny modeli  

Jeśli   jest ultrafiltrem oraz   dla wszystkich   (czyli wszystkie modele są identyczne), to model

 

jest nazywany ultrapotęgą modelu  . W przypadku ultrapotęg modeli, często używamy notacji   zamiast

 

Przykładowe wyniki i zastosowaniaEdytuj

  • Twierdzenie Łosia:
Przypuśćmy, że   jest alfabetem języka pierwszego rzędu,   jest ultrafiltrem na zbiorze     jest modelem języka   (dla  ) oraz   jest formułą języka   której zmienne wolne zawarte są wśród   Niech   Wówczas
  wtedy i tylko wtedy, gdy  
  • Założmy, że   są jak powyżej,   jest modelem języka   Dla   niech   będzie funkcją stałą daną przez   (dla  ) oraz niech   Wówczas funkcja   jest zanurzeniem elementarnym modelu   w jego ultrapotęgę   tzn.   jest funkcją różnowartościową oraz
  wtedy i tylko wtedy, gdy  
W szczególności, ultrapotęga   jest elementarnie równoważna z   (tzn. te same zdania są spełnione w jednym modelu co i w drugim).
  • Z twierdzenia Łosia łatwo wnioskujemy, że:
  • Ultraprodukt nieskończonych dobrych porządków jest dobrym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy użyty ultrafiltr jest σ-zupełny. (Przypomnijmy, że istnienie niegłównych σ-zupełnych ultrafiltrów na zbiorze nieskończonym jest równoważne z istnieniem liczby mierzalnej.)
  • Ultrapotęgi uniwersum teorii mnogości V przy użyciu zupełnych ultrafiltrów są używane w badaniach dużych liczb kardynalnych. Ultrapotęgi są też używane do konstrukcji niestandardowych modeli arytmetyki Peana (PA) czy też modeli analizy niestandardowej[5]. W tym ostatnim kontekście warto zacytować następujący wynik:
  • Twierdzenie Rabina-Keslera[6][7]: Niech   będzie przeliczalnym alfabetem. Załóżmy, że κ jest liczbą kardynalną, na której nie istnieją ultrafiltry σ-zupełne. Wówczas
każdy model z uniwersum mocy κ ma właściwe elementarne rozszerzenie do modelu z uniwersum mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy  

Charakteryzacja elementarnie równoważnych modeliEdytuj

Niech   będzie przeliczalnym alfabetem. Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu   wyznaczonego przez alfabet  .

  • Twierdzenie Keislera o ultrapotęgach[8]: Załóżmy GCH. Niech     będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej   Wówczas
  jest elementarnie równoważny z   wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją ultrafiltry   na   takie że ultrapotęgi   i  izomorficzne.
  • Twierdzenia Szelacha[9][10]:
    • Niech     będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej   Wówczas
  jest elementarnie równoważny z   wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieją ultrafiltry   na   takie że ultrapotęgi   i  izomorficzne.
W szczególności, dwa modele są elementarnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają izomorficzne ultrapotęgi.
    • Twierdzenia Keislera nie można udowodnić tylko w systemie ZFC, bez założenia GCH, bo następujące zdanie jest niesprzeczne z ZFC:
Istnieją elementarnie równoważne przeliczalne grafy   takie, że żadne ich ultrapotęgi     nie są izomorficzne.
Warto zauważyć, że dowód powyższego twierdzenia (w którym Shelah skonstruował odpowiednie pojęcie forsingu) okazał się być bardzo stymulujący dla późniejszego rozwoju teorii forsingu i teorii forsingów proper.

PrzypisyEdytuj

  1. Gödel, K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. „Monatshefte f. Math”, 37 (1930), s. 349–360.
  2. Bell, J.L.; Slomson, A.B.: Models and ultraproducts: An introduction. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London, 1969, s. 259.
  3. Hewitt, E.: Rings of real-valued continuous functions. I. Transactions of the American Mathematical Society 64 (1948), s. 45–99.
  4. Łoś, J.: Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d’algèbres. „Mathematical interpretation of formal systems”, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1955, s. 98–113.
  5. Robinson, A.: Non-standard analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. ​ISBN 0-691-04490-2​.
  6. Rabin, M.O.: Arithmetical extensions with prescribed cardinality. „Indag. Math.” 21 (1959), s. 439–446.
  7. Keisler, H.J.: Limit ultrapowers. Transactions of the American Mathematical Society 107 (1963), s. 382–408.
  8. Keisler, H.J.: Ultraproducts and elementary classes. „Indag. Math.” 23 (1961), s. 477–495.
  9. Shelah, Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers -- Israel J Math 10 (1971) 224-233.
  10. Shelah, S.: Vive la différence. I. Nonisomorphism of ultrapowers of countable models. [w:] Set theory of the continuum (Berkeley, CA, 1989), Math. Sci. Res. Inst. Publ., 26. Springer, New York, 1992, s. 357–405.