Otwórz menu główne
Ilustracja porządku liniowego

Porządek liniowyczęściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

DefinicjeEdytuj

Porządek liniowy to porządek częściowy   na danym zbiorze   spełniający warunek spójności

 

Parę uporządkowaną   nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol   będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem

 

Podzbiór   zbioru   nazywa się

  • gęstym, jeśli zachodzi
     
  • ograniczonym z góry, jeśli
     

Mówi się, że   jest

  • porządkiem bez końców, jeśli w   nie ma tak elementu najmniejszego, jak i największego, tzn. jeśli zachodzi
      oraz  
  • porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór   ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
  • porządkiem gęstym, jeśli   jest gęstym podzbiorem  

PrzykładyEdytuj

 

WłasnościEdytuj

  • Jeśli   jest porządkiem liniowym na zbiorze   oraz   to zawężenie   porządku   do zbioru   jest porządkiem liniowym na  
  • Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
  • Przypuśćmy że   jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców   taki że
      i zawężenie   zgadza się z   oraz   jest gęstym podzbiorem  
Porządek   jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

DziałaniaEdytuj

Iloczyn leksykograficznyEdytuj

Niech   będzie zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Niech   będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego   oraz niech   będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków   nazywa się porządek liniowy w   zdefiniowany wzorem

 

gdzie   będzie pierwszym elementem w   dla którego   dla dowolnych  

Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo i dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest co najmniej dwuelementowy, nigdy nie jest uporządkowany dobrze.

UltraproduktEdytuj

Zobacz też: ultraprodukt.

Niech   będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech   będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w   o pustym przecięciu. Niech ponadto   będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego   oraz niech   będzie ultraproduktem rodziny zbiorów   względem ultrafiltru   W ultraprodukcie   definiujemy porządek liniowy jak następuje:

 

dla dowolnych   gdzie   oznacza klasę elementu  

ZastosowaniaEdytuj

W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.

Przedziałowe algebry Boole’aEdytuj

Niech   będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla   symbol   oznacza zbiór   tzn. przedział lewostronnie domknięty w  

Niech   będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów   które mogą być przedstawione w postaci   dla pewnych elementów   spełniających nierówności   gdzie   Wówczas   jest ciałem podzbiorów   Algebra Boole’a   jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez  

Topologia porządkowaEdytuj

Osobny artykuł: topologia porządkowa.

Niech   będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla   symbol   oznacza przedział otwarty w   tzn. zbiór postaci   Wówczas rodzina

 

pokrywa   i jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też   jest bazą pewnej topologii   na   Topologię tę nazywa się topologią porządkową lub topologią przedziałową. Topologia porządkowa zawsze spełnia aksjomat Hausdorffa (T2) i jest nawet przestrzenią T5[1].

Struktury algebraiczneEdytuj

W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.

  • Grupa liniowo uporządkowana to trójka   taka, że   jest grupą, a   jest porządkiem liniowym na   przy czym
    dla dowolnych   jeśli   to zarówno   jak i  
  • Ciało uporządkowane to szóstka uporządkowana   gdzie   jest ciałem, a   jest porządkiem liniowym na   w którym dla dowolnych   spełnione są warunki:
jeśli   to  
oraz
jeśli   i   to  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Steen-Seebach, Counterexamples in topology.