Otwórz menu główne

Spis treści

Grupastruktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym[1]; szczególny przypadek monoidu, w którym każdy element ma element odwrotny (zob. Podobne struktury). Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

MotywacjaEdytuj

Rys historyczny opisujący motywacje twórców teorii wraz zastosowaniami można znaleźć w artykule dotyczącym teorii grup.

W zbiorze liczb całkowitych   z ich dodawaniem można wyodrębnić następujące własności:

  •   jest działaniem dwuargumentowym określonym na   tzn. dla dowolnych   jest  
  • dla dowolnych   zachodzi  
  • liczba całkowita   spełnia   dla wszystkich  
  • dla każdej liczby   istnieje przeciwna do niej liczba całkowita   tzn. taka że  

Niech   oznacza zbiór dodatnich liczb rzeczywistych wraz z działaniem mnożenia, które przejawia własności analogiczne do powyższych:

  •   jest działaniem dwuargumentowym na   tzn. dla dowolnych   jest  
  • dla dowolnych   zachodzi  
  • liczba   ma własność   dla wszystkich  
  • dla każdej liczby   istnieje odwrotna do niej dodatnia liczba rzeczywista   tzn. taka że  

Rozpatrując zbiór   gdzie   jest liczbą naturalną, z działaniem dodawania modulo   (zob. arytmetyka modularna) okazuje się, że:

  •   jest działaniem dwuargumentowym na   tzn. dla dowolnych   jest  
  • dla dowolnych   zachodzi  
  • liczba całkowita modulo        spełnia   dla wszystkich  
  • dla każdej liczby całkowitej modulo        istnieje przeciwna do niej liczba całkowita modulo        tzn. taka że  

Niech   oznacza niepusty zbiór, zaś   jest zbiorem wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru   na siebie. Rozważając składanie przekształceń z   można zauważyć, że:

  •   jest działaniem dwuargumentowym na   ponieważ jeśli   są wzajemnie jednoznacznymi przekształceniami   na siebie, to   również;
  • dla dowolnych   zachodzi  
  • przekształcenie tożsamościowe   spełnia   dla wszystkich  
  • dla każdego   istnieje odwrotne do niego przekształcenie   tzn. takie że  

Wszystkie powyższe przykłady opisują grupy; w każdym przypadku dany jest niepusty zbiór, na którym określono działanie dwuargumentowe o szczególnych własnościach – tak niżej zostaną zdefiniowane grupy. Dlaczego bada się struktury, które spełniają powyższe/poniższe cztery własności, nie zaś inne; z jakiego powodu wybrano właśnie tę kombinację własności, a nie tylko ich część bądź jakąś dodatkową? Nie ma powodu, by wykluczać te, czy inne możliwości – w istocie rozpatruje się inne teorie i wiele ze wspomnianych kombinacji własności ma swoje nazwy (zob. Podobne struktury), jednakże są one dużo mniej ważne niż struktury spełniające wyróżnione cztery własności.

Teoria matematyczna, aby mogła być uznana za ważną, musi być dostatecznie ogólna, a zarazem mieć znaczenie informatywne. Teoria, której postulaty są w wielu przypadkach zbyt ograniczające, okaże się nieistotna w obszarach, w których nie sposób je zapewnić, co ostatecznie przełoży się na ograniczone nią zainteresowanie. Interesujące teorie są ogólne, jednakże ogólność ma cenę: treść. Umożliwiając spełnienie aksjomatów teorii w różnych obszarach i wielu kontekstach, należy zdawać sobie sprawę, że teoria dotyczyć będzie tylko tego, co jest w nich wspólne – może się wtedy okazać, że nie ma takich rzeczy. Istnieje więc niebezpieczeństwo, że teoria będzie się sprowadzać do listy nieciekawych parafraz postulatów pozbawionych głębi. Nakładanie ograniczeń zmniejsza zakres użycia i zainteresowanie teorią, znoszenie ograniczeń prowadzi do pustej teorii. Wyważenie między ogólnością a treścią jest trudnym zagadnieniem, a teoria grup jest jedną z tych, w których udało się osiągnąć równowagę – dzięki temu znajduje ona zastosowanie w matematyce czystej i stosowanej, fizyce teoretycznej oraz innych naukach przyrodniczych (zob. teoria grup). Ponadto pełna jest ona głębokich, interesujących i pięknych wyników. To właśnie wskazuje na to, że wybór czterech własności przedstawionych w definicji można uważać za rozsądny; zastosowania podobnych struktur nie okazały się tak owocne, jak grup.

DefinicjaEdytuj

Zbiór   z (dobrze[a]) określonym na nim dwuargumentowym działaniem   nazywa się grupą, jeżeli ma on następujące własności (spełnia poniższe aksjomaty):

  • Wewnętrzność: dla dowolnych elementów   ze zbioru   ich wynik   również należy do zbioru   mówi się wtedy, że zbiór   jest zamknięty ze względu na  
  • Łączność: dla wszystkich   należących do   musi zachodzić  
  • Element neutralny: istnieje element   w zbiorze   spełniający dla dowolnego elementu   z tego zbioru warunek  
  • Odwracalność: dla każdego   musi istnieć   dla których  

Grupa to para uporządkowana   a więc zbiór   nazywany nośnikiem, z działaniem   Dlatego grupy   oraz   są równe, o ile   oraz   jako funkcje (relacje) na tym zbiorze; na zbiorze   mogą istnieć dwa różne działania   oraz   ze względu na które   będzie tworzyć grupę, wtedy   oraz   są różnymi grupami.

CharakteryzacjeEdytuj

Wprost z definicji można wywieść kilka trywialnych, choć ważnych obserwacji. Warunek łączności oznacza, że kolejność obliczania (nawiasowanie elementów) nie ma wpływu na ostateczny wynik; dzięki napis postaci   ma sens i może jednoznacznie wskazywać element  [b]. Postulat istnienia elementu neutralnego oznacza, że nośnik grupy nie może być zbiorem pustym[c].

W definicji nie zapewnia się nic ponad istnienie (co najmniej jednego) prawostronnego elementu neutralnego, który służy zagwarantowaniu istnienia (co najmniej jednego) prawostronnego elementu odwrotnego do danego[d]. Mimo to wynika z niej[e], że grupa   ma jeden i tylko jeden prawostronny element neutralny, który równocześnie jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem neutralnym; w związku z tym mówi się po prostu o elemencie neutralnym grupy. Podobnie dowolny   ma jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny, który jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem odwrotnym do   dlatego nazywa się go elementem odwrotnym do   i wprowadza dla niego oznaczenie  

W świetle tych obserwacji przyjmuje się często definicje:

  • Element neutralny*: istnieje jednoznacznie wyznaczony element   w zbiorze   spełniający dla dowolnego elementu   z tego zbioru warunek  
  • Odwracalność*: dla każdego   musi istnieć jednoznacznie wyznaczony   dla których  

Ich przyjęcie zwalnia z dowodzenia wyżej przedstawionych własności, jednak podejście to wymaga sprawdzenia dużo większej liczby warunków zawartych w definicji[f]; uzasadnia to też definiowanie grupy jako uporządkowanej czwórki   której trzeci element oznacza (jednoargumentowe) działanie odwracania, a czwarty – (wyróżniony) element neutralny.

W definicji można zastąpić istnienie prawostronnych elementów neutralnych i odwrotnych na lewostronne, nie zmieniając jej sensu; okazuje się jednak, że zmiana musi dotyczyć obu rodzajów elementów jednocześnie: istnienie prawostronnego elementu neutralnego i lewostronnych elementów odwrotnych nie zawsze zapewnia istnienie struktury grupy w zbiorze[h] (por. Przykłady), podobnie dotyczy to lewostronnego elementu neutralnego i prawostronnych elementów odwrotnych.

Przytoczona definicja nie jest jedyną, która wprowadza w zbiorze strukturę grupy. Poza istnieniem łącznego działania dwuargumentowego   można założyć dla każdego   istnienie elementu   spełniającego warunek   dla dowolnych  [2]; inną możliwością jest wprowadzenie obok działania   dwóch innych działań dwuargumentowych:   oraz  [i], które dla dowolnych   spełniają  [j][3].

Grupę   spełniającą piąty aksjomat:

  • Przemienność: dla dowolnych elementów   zbioru   spełniona jest równość  

nazywa się grupą przemienną (lub abelową[k]); powyższy warunek dotyczy, ściśle rzecz ujmując, działania dwuargumentowego określonego na   które nazywa się przemiennym – grupa przemienna jest więc grupą z działaniem przemiennym[l]. Warunek przemienności jest na tyle silny, iż umożliwił rozwój teorii grup przemiennych w oderwaniu od ogólnej teorii grup jako dość samodzielnego działu matematyki[m].

Konwencje zapisuEdytuj

Badanie grupy polega na dociekaniu, w jaki sposób   zależy od elementów   oraz   nie zaś od nazwy, czy znaku samego działania. Mając to na uwadze, przyjęło się pomijać znak działania, zastępując go zestawieniem: zamiast   pisze się   (czasami  ). Samo działanie nazywa się mnożeniem, rozumianym w związku z tym w szerokim sensie. Może ono oznaczać mnożenie liczb, ale też złożenie odwzorowań, branie różnic symetrycznych zbiorów, czy też jakąkolwiek inną bardziej wymyślną definicję (por. Przykłady). Mówi się wtedy, że w grupie używa się zapisu multiplikatywnego bądź że jest ona grupą multiplikatywną. Dlatego też, mówi się też o iloczynie   elementów   oraz   Ponadto element neutralny oznacza się często cyfrą   przy czym nie musi to być liczba 1: może to być odwzorowanie tożsamościowe, zbiór pusty, czy obiekt innego rodzaju. Nie stosuje się jednak zapisu   zamiast   dla elementu odwrotnego do   Opisany sposób zapisu będzie wykorzystywany w dalszej części artykułu (zachowane zostanie oznaczenie   dla elementu neutralnego).

Obok zapisu multiplikatywnego stosuje się również zapis addytywny, w szczególności, gdy grupa jest przemienna. Działanie oznacza się w nim znakiem „+” i nazywa dodawaniem, rozumianym – podobnie jak mnożenie – w szerokim sensie. Element   nazywa się sumą elementów   oraz   W grupie addytywnej element neutralny oznacza się cyfrą   przy czym znowu nie musi on oznaczać liczby 0. Ponadto element odwrotny do   zapisuje się   i nazywa elementem przeciwnym do  

Zwyczajowo grupą nazywa się nie parę grupa–działanie, a sam nośnik – zbiór   – o ile nie prowadzi to do niejasności: jak wspomniano wcześniej, na zbiorze można często określić wiele grup; w takim przypadku sformułowania „grupa addytywna” i „grupa multiplikatywna” służą wyróżnieniu jednej z nich[n].

WłasnościEdytuj

Niech   będzie grupą i   Wówczas:

  • istnieje jeden i tylko jeden   dla którego   oraz jeden i tylko jeden   dla którego  [o][p];
  • obowiązują prawa skracania: jeżeli   to   (skracanie lewostronne) oraz: jeżeli   to   (skracanie prawostronne)[q][r];
  • zachodzi  [s][t] oraz  [u][v].

W definicji grupy określa się iloczyn dwóch elementów; wcześniej wprowadzony został jednoznaczny iloczyn trzech elementów[w]; podobnie można wprowadzić iloczyn czterech elementów[x]. W celu uproszczenia notacji w podobny sposób wprowadza się ogólny iloczyn   elementów   grupy     definiowany poprzez  -krotny iloczyn dwóch elementów; nawiasy można wstawić na wiele sposobów[y], jednak dzięki łączności wszystkie one dają ten sam wynik[z]:  [aa] równy   Jeśli     są wszystkie równe   to pisze się   w szczególności   a przy tym   Tę obserwację można wyrazić więc w postaci   (dla   i  ); ponadto    [ab].

Własności te rozszerza się na wykładniki całkowite; przyjmuje się, że   (element neutralny) oraz   (element odwrotny do  ) dla   oraz   Ze względu na to, dla wszystkich   oraz  

  • zachodzi równość  [ac],
  • prawdą jest  [ad],
  • obowiązuje tożsamość  [ae].

Dodatkowo dla   zachodzi  [af]; obserwacja ta dowodzi też   Jeżeli   są elementami, dla których   to  [ag], a stąd  [ah] dla wszystkich  [ai]. Jeśli   dla dowolnego   to grupa   jest przemienna[aj].

W przypadku grup addytywnych zamiast   pisze się   dla   i definiuje   oraz   dla   Określa to   dla   oraz   Poprzednie obserwacje zapisuje się wtedy odpowiednio:     oraz   ponadto   (  w ostatniej tożsamości istotne jest założenie przemienności grupy).

PrzykładyEdytuj

1. Niech dla dowolnych elementów   oraz   zbioru   będzie   czy   jest grupą?

  • Wewnętrzność:   jest działaniem wewnętrznym w   ponieważ   i   o ile   tzn.   jest zamknięty ze względu na  
  • Łączność: czy dla dowolnych   zachodzi  ? Ponieważ   czyli   to działanie   jest łączne, gdyż działanie   jest łączne w  
  • Element neutralny: czy istnieje w   element, niech to będzie   dla którego   dla wszystkich  ? Jest to prawdą, o ile   co jest równoważne   przy tym brak jakiegokolwiek warunku na   Przykładowo   oraz   są prawostronnymi elementami neutralnymi[ak]; w rzeczywistości dowolny element   jest prawostronnym elementem neutralnym.
Ponieważ grupa ma jeden i tylko jeden prawostronny element neutralny[al], to   nie jest grupą ze względu na   Z drugiej strony, przykładowo względem   (w zasadzie względem dowolnego prawostronnego elementu neutralnego), każdy element   ma lewostronny element odwrotny     (względem   lewostronnym elementem odwrotnym do   jest  ).

W ten sposób   jest strukturą, w której istnieje prawostronny element neutralny oraz lewostronne elementy odwrotne względem każdego elementu, mimo to nie jest grupą (zob. Charakteryzacje).

2. Dla dowolnych dwóch elementów   niech   czy   jest grupą ze względu na  ?

  • Wewnętrzność: sprawdzenie, że dla dowolnych   zachodzi   nie wystarcza – należy również wykazać, że   Niech     zakładając   wykazana zostanie sprzeczność. Otóż jeśli   to   czyli   a więc   co oznacza, że   lub   sprzeczność. Zatem   czyli   jest działaniem wewnętrznym w  
  • Łączność: czy dla dowolnych   jest  ? Rozpisując obie strony równania, otrzymuje się kolejno:   następnie   oraz   co oznacza, że   jest łączne.
  • Element neutralny: szukany jest element   który dla dowolnego   spełnia   Zakładając, że taki element   istnieje, otrzymuje się   skąd   czyli   a więc   (ponieważ  ). Nie dowodzi to jeszcze, że   jest prawostronnym elementem neutralnym; poprzednie rozumowanie przekonuje jedynie, że prawostronny element neutralny, o ile istnieje, musi być równy   Aby przekonać się, że   istotnie jest prawostronnym elementem neutralnym należy zauważyć, że   dla każdego   ponieważ   to istotnie jest to prawostronny element neutralny w  
  • Element odwrotny: dla każdego   należy znaleźć   spełniający   daje to   czyli   tj.   skąd   tzn.   co ma sens, gdyż   Nie oznacza to, że   jest prawostronnym elementem odwrotnym do   a jedynie to, że o ile taki element istnieje, musi mieć podaną wartość. Dlatego należy wykazać, że   dla każdego   oraz że   Otóż   a ponadto   gdyż   oraz   oznaczałyby, że   czyli   dawałoby sprzeczność.

Ponieważ spełnione są wszystkie aksjomaty grupy, to   tworzy grupę z określonym wyżej działaniem  

3. Czy definiując na   działanie   dane wzorem   dla wszystkich   otrzymuje się grupę  ?

  • Wewnętrzność: dla dowolnych   element   jest liczbą całkowitą, zatem   jest zamknięty ze względu na  
  • Łączność: dla wszystkich   ma być spełnione   istotnie   czyli   jest łączne.
  • Element neutralny: czy istnieje   dla której   dla każdego  ? Równość daje   czyli   Liczba   istotnie jest prawostronnym elementem neutralnym, gdyż   dla każdego  
  • Element odwrotny: czy liczba całkowita   ma prawostronny element odwrotny w  ? Warunek   daje   tj.   Liczba   rzeczywiście jest prawostronnym elementem odwrotnym do   ponieważ  

W rzeczy samej, zbiór   jest grupą względem działania  

4. Niech   oznacza niepusty zbiór, a   oznacza zbiór wszystkich podzbiorów   Zbiór   tworzy grupę z działaniem różnicy symetrycznej   ponieważ spełnione są aksjomaty grupy:

  • Wewnętrzność: dla dowolnych   zbiór   jest podzbiorem   czyli   a więc   jest zamknięty ze względu na  
  • Łączność:   jest łączne.
  • Element neutralny: podzbiór pusty   jest prawostronnym elementem neutralnym.
  • Element odwrotny: każdy element ma   ma prawostronny element odwrotny, mianowicie samego siebie, ponieważ   dla dowolnego  

Najprostszą, a zarazem najmniejszą grupą jest grupa trywialna złożona z jednego elementu[am]. Dalsze przykłady obejmują grupę przekształceń ustalonego zbioru (ostatni przykład w Motywacja); grupę euklidesową, czyli grupę izometrii ustalonej przestrzeni euklidesowej; grupę symetrii danej figury przestrzeni euklidesowej, czyli grupę izometrii własnych tej figury (tzn. izometrii odwzorowujących figurę na siebie); grupę diedralną, tzn. grupę symetrii wybranego wielokąta foremnego[an] (wszystkie z działaniem składania przekształceń). Ze względu na możliwość reprezentacji elementów grupy jako macierzy, ważnym przykładem są różnorodne grupy macierzy (odwracalnych z działaniem ich mnożenia, np. wygodna reprezentacja macierzowa grupy kwaternionów).

PojęciaEdytuj

Struktura

Wśród podanych wyżej przykładów grup niektóre z nich mają nośnik będący zbiorem skończonym, inne – zbiorem nieskończonym. Liczbę elementów grupy   a dokładniej jego moc zbioru   nazywa się rzędem tej grupy i oznacza symbolem   Jeżeli   jest skończony, to grupę   również nazywa się skończoną, jeśli   jest nieskończony, to mówi się, że grupa   jest nieskończona[4]. Niekiedy rozróżnia się różne rodzaje nieskończoności, ale często przyjmuje się, że jeśli rząd grupy   jest nieskończony, to pisze się   gdzie symbol   reprezentuje wszystkie typy nieskończoności.

Grupa jako zbiór (z określonym na nim działaniem dwuargumentowym spełniającym pewne własności) ma podzbiory; spośród wszystkich podzbiorów bardziej interesujące są te podzbiory, które odzwierciedlają strukturę algebraiczną grupy, gdyż pomagają zrozumieć jej budowę. Wyróżnione miejsce zajmują pośród nich te, które same są grupami (ze względu na to samo działanie): nazywa się je podgrupami danej grupy. Wśród innych podzbiorów grupy istotne miejsce zajmują warstwy względem określonej podgrupy, które stanowią rozbicie nośnika na rozłączne podzbiory; liczbę warstw względem wybranej podgrupy nazywa się indeksem tej podgrupy w grupie (podobnie jak w przypadku rzędu można rozróżniać rodzaje nieskończoności, jednak częstokroć się tego nie czyni). Ponieważ warstwy danej grupy względem jej ustalonej podgrupy są równoliczne, to rząd grupy jest równy iloczynowi rzędu podgrupy oraz indeksu podgrupy w grupie; w szczególności jeśli grupa jest skończona, to rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy – ta ważna obserwacja nazywana jest twierdzeniem Lagrange’a.

Dla grupy   oraz   zbiór   wszystkich potęg całkowitych elementu   jest niepusty, a ponadto tworzy podgrupę w  [ao] – nazywa się go podgrupą cykliczną grupy   generowaną przez element   Gdy   to   nazywa się grupą cykliczną, a element   nazywa się generatorem tej grupy. Rząd   tej podgrupy nazywa się rzędem elementu   i oznacza   (jak wyżej, zwykło się przyjmować, że wartość ta jest liczbą naturalną albo nieskończonością). Jeżeli   jest skończona, to każdy element   ma skończony rząd, a dokładnie   na mocy twierdzenia Lagrange’a; w grupach nieskończonych mogą istnieć tak elementy rzędu skończonego, jak i nieskończonego. Definicję generowania podgrupy przez element rozszerza się na zbiory elementów: jeżeli   to   nazywa się podgrupą generowaną przez   i składa się ze wszystkich skończonych iloczynów elementów w   oraz ich odwrotności (przyjmuje się, że   jest trywialna; ponadto   a   oznacza się  ); jeżeli   oraz   to   nazywa się zbiorem generatorów grupy   a o grupie   mówi się, że jest generowana przez   jeśli grupa   ma skończony zbiór generatorów, to nazywa się ją skończenie generowaną.

Przekształcenia

Zbiór warstw względem podgrupy szczególnego rodzaju, tzw. podgrupy normalnej, można wyposażyć w naturalnie określone działanie, względem którego będzie on tworzyć grupę nazywaną grupą ilorazową (danej grupy przez wspomnianą podgrupę normalną). Oprócz tego, że mogą one służyć do tworzenia kolejnych, mniejszych grup (zachowując przy tym własności grupy wyjściowej, np. przemienność, czy cykliczność)[ap] umożliwiają one wniknięcie w budowę grupy za pomocą homomorfizmów grup, tzn. przekształceń zachowujących strukturę algebraiczną grup; centralną rolę pełni tu twierdzenie o izomorfizmie (wraz z nieco ogólniejszym twierdzeniem o homomorfizmie). Podgrupy mogą być wkomponowane w grupę we względnie prosty bądź w dość złożony sposób, przedstawiając grupę w postaci iloczynów jej podgrup: ogólnego, półprostego, czy prostego (można je opisać za pomocą tzw. iloczynu kompleksowego). Ogólnie wszystkie wspomniane pojęcia, przede wszystkim grupy ilorazowe i podgrupy, można wykorzystać do opisu grupy za pomocą jej prezentacji: dowolna grupa jest ilorazem grupy wolnej nad zbiorem generatorów danej grupy przez podgrupę relacji spełnianych w tej grupie[aq].

Automorfizmy grupy to przekształcenia, które można uważać za uogólnienie izometrii własnych figur geometrycznych (por. Przykłady). Podgrupy normalne to podgrupy, które „wyglądają tak samo niezależnie od sposobu patrzenia”; formalizację tej intuicji umożliwia relacja sprzężenia elementów (elementy sprzężone mają te same własności, np. ten sam rząd) oraz klasa automorfizmów nazywanych wewnętrznymi (wyznaczanych przez sprzężenia). W ogólności podgrupy sprzężone (jedna z drugą) należy rozumieć jako podgrupy, które „wyglądają tak samo zmieniwszy sposób patrzenia” (z tego powodu podgrupy normalne nazywa się czasem „samosprzężonymi”); formalnie dwie podgrupy są sprzężone, gdy jedna jest obrazem drugiej w pewnym automorfizmie wewnętrznym. Automorfizmy grupy   tworzą grupę   ze względu na składanie przekształceń, a automorfizmy wewnętrzne grupy   tworzą podgrupę (normalną)   we wspomnianej grupie automorfizmów.

Centrum grupy   to podgrupa (normalna)   elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy   jej rozmiar mówi więc o stopniu przemienności grupy; związek między centrum a automorfizmami wewnętrznymi ustala grupa ilorazowa   przez   która ma tę samą strukturę, co grupa   Innym pojęciem służącym określeniu stopnia przemienności, czy też raczej nieprzemienności, grupy jest komutator dwóch elementów; podgrupa generowana przez wszystkie komutatory, nazywana pochodną grupy (lub jej komutantem), jest trywialna, gdy grupa jest przemienna. Podgrupa ta umożliwia wskazanie przemiennych grup ilorazowych: są nimi te grupy ilorazowe, których pochodna zawiera się w podgrupie normalnej będącej dzielnikiem; pozostałe grupy ilorazowe są nieprzemienne. Podgrupa charakterystyczna (będąca przypadkiem szczególnym podgrupy normalnej) to podgrupa, która „wygląda symetrycznie” (strukturę pierwszych zachowują wszystkie automorfizmy grupy, podczas gdy drugich jedynie część z nich – tylko wewnętrzne). Przykładami są m.in. wspomniane centrum, czy pochodna grupy[ar].

Działanie
Osobny artykuł: działanie grupy na zbiorze.

W sekcji Przykłady zasygnalizowano istnienie grup funkcji, np. grupy przekształceń   danego zbioru   grupy izometrii przestrzeni euklidesowej, wyżej wspomniano również o grupie   funkcji zachowujących mnożenie w   Ogólnie, jeśli   jest zbiorem z określoną na nim pewną strukturą (algebraiczną, geometryczną, analityczną, topologiczną, czy inną), odwzorowania określone na   które zachowują tę strukturę, tworzą grupę. Działanie grupy na zbiorze pozwala na uchwycenie funkcyjnego charakteru elementów grupy, który mogą one przejawiać; o elementach grupy   można myśleć właśnie jako o funkcjach określonych na zbiorze   W gruncie rzeczy dowolne działanie grupy na zbiorze   można rozumieć jako homomorfizm grupy   w grupę   (tzw. reprezentacja permutacyjna grupy  ). Wykorzystując pojęcie działania grupy na zbiorze, można w czytelny sposób uzasadnić twierdzenie Cayleya: grupa   ma tę samą strukturę, co pewna podgrupa przekształceń (wzajemnie jednoznacznych) zbioru   Wiele informacji o grupie można pozyskać, rozważając działanie grupy   na zbiorze   poprzez sprzężenia (zob. klasa sprzężoności).

Rozkłady

Proste odwrócenie twierdzenia Lagrange’a jest fałszywe: jeśli   jest dzielnikiem rzędu   grupy skończonej   to   nie musi mieć podgrupy rzędu   nałożenie dodatkowego warunku na   by było potęgą liczby pierwszej (grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej to tzw. grupy pierwsze) i było względnie pierwsze z   sprawia, że teza twierdzenia staje się prawdziwa – jest to pierwsze z trzech twierdzeń Sylowa. Wspomniana podgrupa (pierwsza) rzędu   nazywana jest podgrupą Sylowa[as]; drugie twierdzenie Sylowa mówi, że podgrupy Sylowa są sprzężone; trzecie opisuje liczbę możliwych podgrup Sylowa.

Grupy zawierające podgrupy normalne można rozłożyć na iloraz oraz wspomnianą podgrupę normalną[at]. Nietrywialną grupę nazywa się prostą, jeżeli nie ma ona nietrywialnych, właściwych podgrup normalnych – definicja ta przywodzi na myśl liczby pierwsze: podobnie jak liczby pierwsze są „budulcem” liczb całkowitych, tak grupy proste są „budulcem” pewnego rodzaju grup; analogii tej nie należy jednak posuwać zbyt daleko, gdyż różne grupy mogą składać się z tych samych elementów składowych – problem konstrukcji grupy znany jako problem rozszerzenia nadal oczekuje na rozwiązanie. Proste grupy przemienne to dokładnie grupy cykliczne o rzędzie będącym liczbą pierwszą (zob. klasyfikacja skończonych grup przemiennych); innym przykładem są grupy alternujące (grupa permutacji parzystych z działaniem ich składania) stopnia piątego i wyższych.

Jeżeli   jest podgrupą w   to skończony ciąg podgrup w   (zawierający   oraz  ) nazywa się ciągiem (podnormalnym) od   do   gdy każda podgrupa ciągu jest podgrupą normalną kolejnej. Elementy ciągu nazywa się jego wyrazami, a grupy ilorazowe kolejnych wyrazów – jego ilorazami (lub faktorami); ciąg od podgrupy trywialnej do   nazywa się krótko ciągiem   Jeśli każdy wyraz ciągu jest normalny/charakterystyczny w   to cały ciąg nazywa się normalnym/charakterystycznym; gdy ciąg nie zawiera powtórzeń (zawieranie właściwe podgrup), to ciąg nazywa się właściwym. Ciąg (2) od   do   nazywa się zagęszczeniem ciągu (1) od   do   jeżeli każdy wyraz (1) jest również wyrazem (2); zagęszczenie ciągu (1) można więc uzyskać poprzez wstawienie dodatkowych grup – niekoniecznie różnych od wyrazów ciągu (1) – między kolejne wyrazy ciągu (1). Gdy jednak (2) jest zagęszczeniem (1) i co najmniej jeden wyraz (2) nie był wyrazem (1), to (2) nazywa się zagęszczeniem właściwym (1). Ciąg   nazywa się ciągiem kompozycyjnym, jeśli jest ciągiem właściwym   i nie ma zagęszczenia właściwego (ilorazy ciągu kompozycyjnego to ilorazy kompozycyjne); ciąg kompozycyjny grupy   można scharakteryzować jako ciąg   w którym wszystkie ilorazy są proste. Dwa ciągi grupy  równoważne, gdy mają tę samą liczbę wyrazów i ilorazy pierwszego ciągu mają, w pewnym porządku, tę samą strukturę co ilorazy drugiego ciągu (a więc niekoniecznie odpowiadające sobie wyrazy ciągów). Twierdzenie Jordana-Höldera mówi, że dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne (o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny[au]); w istocie prawdziwe jest dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera, które zapewnia, że dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia (wniosek: każdy ciąg właściwy grupy ma zagęszczenie będące ciągiem kompozycyjnym)[av]. Przytoczone wyniki są elementem szerszej klasyfikacji skończonych grup prostych[aw].

Ciąg od   do   nazywa się abelowym, gdy wszystkie ilorazy są abelowe (przemienne). Grupę nazywa się rozwiązalną, jeśli ma ciąg abelowy[k]. Każda grupa przemienna jest rozwiązalna, choć istnieją rozwiązalne grupy nieprzemienne; ponadto podgrupy i grupy ilorazowe grup rozwiązalnych również są rozwiązalne, z drugiej strony jeśli rozwiązalna jest podgrupa normalna i iloraz grupy przez nią, to rozwiązalna jest i sama grupa. Przykładami grup nierozwiązalnych są znowu grupy alternujące stopnia piątego i wyższych, rozwiązalne są z kolei skończone grupy pierwsze. Ogólniej: ponieważ rozwiązalne grupy proste to grupy cykliczne rzędu będącego liczbą pierwszą, to skończone grupy rozwiązalne to grupy, w których każdy iloraz kompozycyjny ma rząd wyrażający się liczbą pierwszą. Wynika stąd, że grupy permutacji stopnia piątego i wyższych również są nierozwiązalne. Obserwacja ta pełni kluczową rolę w dowodzie tego, że równanie wielomianowe stopnia większego niż cztery nie może być rozwiązane za pomocą pierwiastników (tzn. czterech działań arytmetycznych i pierwiastkowania, tj. potęg i pierwiastków o wykładniku/stopniu naturalnym) – jest to tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego.

Zbiór elementów skończonego rzędu grupy przemiennej   tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną   iloraz   przez   poza elementem neutralnym zawiera wyłącznie elementy nieskończonego rzędu. Ogólnie dowolną grupę   nazywa się torsyjną, o ile tylko zawiera wyłącznie elementy skończonego rzędu; grupę, w której każdy element poza neutralnym ma rząd nieskończony nazywa się beztorsyjną (w ten sposób jedyną grupą jednocześnie torsyjną i beztorsyjną jest grupa trywialna; każda grupa skończona jest torsyjna, choć torsyjna jest również nieskończona grupa ilorazowa   przez   grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne nazywa się mieszanymi). Twierdzenie klasyfikacyjne są w matematyce bardzo pożądane, lecz niezmiernie rzadkie: nie mniej istnieje wyczerpująca klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych (twierdzenie Frobeniusa–Stickelbergera). Wystarczy więc zbadać dwie klasy grup przemiennych: torsyjne i beztorsyjne, a następnie znaleźć sposób na skonstruowanie z nich grupy przemiennej. Nie obędzie się jednak bez dodatkowych warunków nałożonych na   jeśli przyjąć, że   jest skończenie generowana, to   jest skończona. Wtedy badanie skończonych grup przemiennych sprowadza się do badania skończonych, przemiennych grup pierwszych[ax] oraz beztorsyjnych grup przemiennych – wykorzystuje się do tego pojęcia niezależności, bazy (niezależnego zbioru generującego grupę, o ile nie zawiera on elementu neutralnego) oraz rangi grupy (jednoznacznie wyznaczonej liczby elementów w bazie)[ay]. Złączenie części torsyjnej i beztorsyjnej przebiega w najprostszy możliwy sposób: poprzez iloczyn prosty – struktura skończenie generowanej grupy przemiennej   wyznaczona jest w zupełności przez zbiór liczb całkowitych w jednoznaczny sposób.

Podobne strukturyEdytuj

Struktury grupopodobne
Wewnętrzność Łączność E. neutralny Odwrotność Przemienność
Grupoid  T
Półgrupa  T  T
Monoid  T  T  T
Grupa  T  T  T  T
przemienna  T  T  T  T  T
Pętla  T  T  T
Quasi-grupa  T  T
 T – warunek wymagany; – warunek niekonieczny

Niech   będzie dowolnym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym   Istnieje szereg podobnych struktur mających osobne nazwy, które spełniają aksjomaty podobne do aksjomatów grupy; struktura   jest:

  • grupoidem bez dodatkowych założeń,
  • półgrupą, gdy działanie   jest łączne,
  • monoidem, gdy działanie   półgrupy ma element neutralny[az],
  • quasi-grupą, gdy dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny względem  
  • pętlą (lupą), gdy działanie   w quasi-grupie ma element neutralny.
  • grupą przemienną (abelową), gdy działanie   w grupie jest przemienne.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Sformułowanie „dobrze określone” oznacza, że działanie jest funkcyjne, tzn. dowolnym dwóm elementom przypisuje jednoznacznie trzeci element. Mogłoby się wydawać, że wymaganie to jest oczywiste, jednak możliwe jest podanie nie budzącego początkowo zastrzeżeń przykładu, w którym przypisywany element zależy nie od samych elementów, ale od sposobu ich identyfikacji („nazw”); zasadniczo sytuacja ta pojawia się zwykle w wyniku utożsamiania ze sobą elementów (zob. relacja równoważności, grupa ilorazowa, warstwa – Przykłady).
  2. Przyjęcie takiej umowy byłoby błędem, gdyby działanie nie było łączne. Przykładowo dzielenie   nie jest działaniem łącznym na   poza przypadkiem   (tutaj  ); wyrażenie   jest niejednoznaczne.
  3. De facto najmniejszymi grupami w sensie liczby elementów są grupy jednoelementowe (zob. Przykłady).
  4. Definicja nie mówi zatem, że istnieje tylko jeden element będący prawostronnym elementem neutralnym (choć faktycznie tak jest, zob. dalej). Co więcej w definicji nie wspomina się o lewostronnych elementach neutralnych, ich istnieniu, czy związkach między nimi. Podobnie definicja nie wyklucza istnienia wielu prawostronnych elementów neutralnych o tej własności, przy czym część z nich może ją mieć, a część nie. Ponadto część (lub wszystkie) elementy mogą mieć więcej niż jedną odwrotność względem części (lub wszystkich) prawostronnych elementów neutralnych.
  5. a b c d e f Lemat
    Z definicji grupy wynika, że:
    1. element   jest jedynym elementem idempotentnym w  
    2.   jest jednoznacznie wyznaczonym prawostronnym elementem neutralnym w  
    3. prawostronny element odwrotny elementu z   jest również lewostronnym elementem odwrotnym tego samego elementu;
    4.   jest lewostronnym elementem neutralnym w  
    5.   jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem neutralnym w  
    6. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny w  
    7. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony lewostronny element odwrotny w  
    8. jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny dowolnego elementu   jest równy jednoznacznie wyznaczonemu lewostronnemu elementowi odwrotnemu elementu  
    Dowód
    1. Należy dowieść, że jeśli dla   zachodzi   to   Niech więc dla pewnego   zachodzi   niech   oznacza prawostronny element odwrotny (istnieje z aksjomatów), tj.   Wówczas   skąd   (łączność), a więc   (gdyż  ), co daje   (  jest prawostronnym elementem neutralnym).
    2. Warunek oznacza, że jeśli   jest prawostronnym elementem neutralnym, tzn.   dla wszystkich   to   Podstawiając w szczególności   za   otrzymuje się   co oznacza   z punktu 1.
    3. Innymi słowy: jeżeli   to   Niech zatem   wtedy element   jest równy   (dwukrotnie łączność), a z założenia jest on równy   czyli dla   zachodzi   a więc z punktu 1. wynika, że   tzn.  
    4. Należy udowodnić, że   dla dowolnego   niech   zaś   będzie jego prawostronnym elementem odwrotnym. Wówczas   skąd   (punkt 3.), a stąd   czyli   dlatego   i wreszcie   co oznacza, że   jest również lewostronnym elementem neutralnym.
    5. Niech   dla wszystkich   czyli   będzie lewostronnym elementem neutralnym, wtedy   W szczególności podstawiając za   element   otrzymuje się   co z punktu 1. daje  
    6. Wiadomo, że każdy element   ma co najmniej jeden prawostronny element odwrotny, niech będzie to   tzn.   Należy wykazać, że jeżeli   to   (gdzie  ). Niech więc   oraz   Z punktu 3. jest   skąd   czyli   a więc   to jest   i wreszcie   (punkt 4.).
    7. i 8. Niech   a   oznacza jego jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny. Z punktu 3. wiadomo, że   jest także lewostronnym elementem odwrotnym do   tj.   Należy udowodnić, że jeśli   oraz   to   Niech zatem   oraz   wówczas   skąd   a więc   czyli   skąd  
  6. Przy zastąpieniu warunków Element neutralny oraz Odwracalność warunkami Element neutralny* oraz Odwracalność* należy sprawdzić własności:
    1. istnieje   spełniające   dla każdego  
    2. wspomniany   spełnia też   dla każdego  
    3.   jest jedynym elementem w   o powyższych dwóch własnościach;
    4. dla dowolnego   istnieje   spełniający  
    5., a ponadto  
    6. przy czym   jest jedynym elementem   dla którego  
    Stosując przedstawioną definicję, wystarczy sprawdzić punkty 1. oraz 4.; punkty 2., 3., 5., 6. wynikają z 1. oraz 4., co znacząco ułatwia przekonanie się o tym, czy dany zbiór z działaniem tworzy grupę.
  7. Niech   będą dwoma różnymi prawostronnymi elementami neutralnymi w strukturze algebraicznej (grupoidzie, zob. Podobne struktury)   Zakładając, że struktura ta ma (co najmniej jeden) lewostronny element neutralny   popada się w sprzeczność: z ich definicji jest   wbrew założeniu, że   są różne. Stąd struktura algebraiczna z więcej niż jednym prawostronnym elementem neutralnym nie może mieć lewostronnego elementu neutralnego.
  8. Niech   oznacza strukturę algebraiczną (grupoid, zob. Podobne struktury) z działaniem danym wzorem   dla wszystkich   (działanie odpowiada rzutowi lewostronnemu dla pary uporządkowanej  ). Działanie   jest wewnętrzne wprost z definicji:   bez względu na wybór   działanie   jest też łączne, ponieważ z jego definicji dla dowolnych   zachodzi   Z samej definicji działania wynika także, że każdy element   jest prawostronnym elementem neutralnym. W ten sposób spełnione są trzy pierwsze aksjomaty grupy; ponadto skoro dla dowolnego   jest   a   jest elementem neutralnym, to spełniony jest też warunek istnienia lewostronnego elementu odwrotnego. Z istnienia więcej niż jednego prawostronnego elementu neutralnego wynika jednak brak lewostronnych elementów neutralnych[g], co przeczy ustaleniom lematu[e], zatem   nie może być grupą.
  9. Odpowiadających   oraz   w standardowej definicji; w szczególności   oraz  
  10. Do zdefiniowania grupy wystarczy jedynie działanie   otóż     oraz   Ponadto grupę można wtedy zdefiniować za pomocą jednego aksjomatu: dla dowolnych   zachodzi  
  11. a b Nazwa „abelowy” pochodzi od nazwiska Nielsa Abela (1802–1829), który podał warunki rozwiązywalności równań wielomianowych (zob. dalej) w postaci równań nazywanych jego nazwiskiem (za Jordanem i Kroneckerem); w późniejszych pracach innych autorów, operujących innymi, nowocześniejszymi narzędziami, okazało się, że wspomniane warunki były równoważne przemienności odpowiedniej grupy przekształceń pierwiastków wielomianu (tzw. grupy Galois, od nazwiska prekursora teorii grup, Évariste’a Galois, 1811–1832); jako pierwszy nazwy „grupa abelowa” na określenie grup przemiennych użył Weber.
  12. Tabliczki działania (tablice Cayleya) działań przemiennych są symetryczne względem przekątnej głównej (łączącej komórki w „lewym górnym” i „prawym dolnym” rogu).
  13. Teoria pierwszego rzędu grup przemiennych jest rozstrzygalna (co wynika wprost z rozstrzygalności arytmetyki Presburgera), czego nie można powiedzieć o ogólnej teorii grup. Przykładowo pojęcie podgrupy normalnej (zob. Pojęcia) nie odgrywa większej roli w teorii grup przemiennych, ponieważ wszystkie podgrupy są normalne, a w związku z tym różnorodne iloczyny grup stają się zwykłym iloczynem prostym. Dzięki przemienności możliwe jest sklasyfikowanie skończonych grup przemiennych, a nawet skończenie generowanych grup przemiennych (zob. dalej; rozstrzygalna jest również teoria pierwszego rzędu skończenie generowanych grup przemiennych z działaniem sumy prostej, ze względu na które ich zbiór tworzy monoid przemienny). Mimo tych sukcesów próby sklasyfikowania beztorsyjnych grup przemiennych skończonej rangi są daleko niezadowalające: obok wspomnianych grup skończenie generowanych satysfakcjonujący opis istnieje tylko dla grup o randze 1 (zob. postępy); podobnie istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi (pojęcie grupy torsyjnej jest jednym z powodów niemożności sformalizowania teorii grup jako teorii pierwszego rzędu: wymagałoby to użycia zabronionej w logice pierwszego rzędu nieskończenie długiej alternatywy; z drugiej strony klasa grup torsyjnych nie jest Δ-elementarna); badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane niż nad przeliczalnymi grupami torsyjnymi (zob. Pojęcia).
  14. Przykładowo zbiór   liczb rzeczywistych wyposażony jest w wiele struktur, m.in. porządkową, topologiczną, geometryczną, algebraiczną; tę bogatą strukturę oznacza się zwykle symbolem   W związku z tym mówi się o grupie addytywnej liczb rzeczywistych   oznaczanej często po prostu   i grupie multiplikatywnej niezerowych (odwracalnych) liczb rzeczywistych   (zob. Przykłady, por. Motywacja).
  15. Jednoznaczność: Istnieje co najwyżej jeden   dla którego   Niech   wtedy   czyli   a więc   co daje   na mocy lematu[e].
    Istnienie: O istnieniu co najmniej jednego   można się przekonać, kładąc   Rzeczywiście,  
    Drugi przypadek dowodzi się analogicznie jak pierwszy.
  16. Istnienie rozwiązań równania liniowego (z jedną niewiadomą) ma też interpretację w tabliczce działania (tablicy Cayleya): każdy wiersz/kolumna tablicy działania grupowego zawiera dany element grupy wyłącznie jeden raz.
  17. Mnożąc lewostronnie   przez   otrzymuje się   co z łączności jest równoważne   czyli   a ponieważ   jest elementem neutralnym, to ostatecznie   Drugą część dowodzi się podobnie.
  18. Własność skracania (bądź równoważnie: odwracalności) dla każdego elementu grupy sprawia, że tabliczka działania w grupie (tablica Cayleya grupy) jest kwadratem łacińskim: każdy element grupy pojawia się w ustalonej kolumnie i ustalonym wierszu jeden i tylko jeden raz.
  19. Z definicji   jest   zatem   jest lewostronnym elementem odwrotnym do   co (z lematu[e]) oznacza, że   jest elementem odwrotnym do  
  20. Własność ta mówi więc, że odwracanie elementów traktowane jako działanie jednoargumentowe   jest inwolucją (ponadto jest ono naturalnym antyizomorfizmem grupy i jej grupy przeciwnej, zob. homomorfizm grup).
  21. a b Ponieważ   to   jest elementem odwrotnym do  
  22. Równość   zachodzi tylko wtedy, gdy   (co jest równoważne   a więc nie jest ogólną prawidłowością).
  23. Iloczyn trzech elementów   w tej właśnie kolejności obliczany jest za pomocą dwóch iloczynów: najpierw   następnie przez   bądź najpierw   następnie przez   Dzięki łączności otrzymywane wyniki są równe, dzięki czemu można pisać   bez nawiasów.
  24. Iloczyn czterech elementów   oblicza się za pomocą trzech kolejnych iloczynów, co można zrobić na pięć różnych sposobów:           które są jednak równe dzięki łączności: pierwsze dwa iloczyny są równe, gdyż   ostatnie dwa są równe, ponieważ   ponadto   oraz   (wystarczy położyć odpowiednio   oraz   by uzyskać   oraz  ). Umożliwia to opuszczenie nawiasów i pisanie   na oznaczenie iloczynu elementów   w tej właśnie kolejności.
  25. Dokładnie na   (zob. silnia).
  26. Poniższe rozumowanie jest prawdziwe nie tylko dla grup, w związku z tym zostanie wyrażone w ogólniejszej postaci.
    Lemat
    Niech   będzie niepustym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym oznaczanym przez zestawienie. Iloczyny elementów   są niezależne od sposobu wstawiania nawiasów. Oznacza to, co następuje. Niech
     
    dla   (  są więc podzbiorami   zawierającymi iloczyny   zredukowanymi do   kolejnych mnożeń dwóch elementów z  ).
    Teza: dla każdego   i wszystkich   zbiór   zawiera jeden i tylko jeden element.
    Dowód
    Dowód przez indukcję względem   Dla   jest oczywiste, że tak   jak i   mają nie mniej, nie więcej jeden element. Dla   teza to inna postać warunku łączności; dla   teza wynika z rozumowania opisanego w jednej z poprzednich uwag (użyto tam wyłącznie łączności działania!).
    Niech   i lemat będzie prawdziwy dla   Niech   należy udowodnić   Z definicji   jest   oraz   gdzie
     
     
    Dowiedzione zostanie   najpierw przy założeniu   Na mocy indukcji zbiór   zawiera jeden i tylko jeden element; zatem   Stosując hipotezę indukcyjną dla   dla elementów   również można stwierdzić, że   również ma jeden i tylko jeden element; daje to   W ten sposób   teza jest więc prawdziwa w przypadku  
    Niech teraz   bez utraty ogólności można założyć, że   Niech   dla   Stosując hipotezę indukcyjną dla   dla elementów   otrzymuje się dokładnie jeden element w   oznaczany dalej   Również z indukcji zastosowanej dla   dla elementów   istnieje dokładnie jeden element w   mianowicie   Raz jeszcze z indukcji zastosowanej do   dla elementów   istnieje dokładnie jeden element w   niech to będzie   Z definicji   jest   czyli  
    Jest   Z indukcji zastosowanej do   dla elementów   zbiór   ma jeden i tylko jeden element nazywany dalej   Również z indukcji zastosowanej dla   dla elementów   istnieje dokładnie jeden element w   mianowicie   Znowu z indukcji zastosowanej do   dla elementów   zbiór   ma dokładnie jeden element, niech to będzie   Z definicji   jest   a więc  
    Stąd   oraz   daje to   co kończy dowód.
  27. Oznaczany również   a w zapisie addytywnym  
  28. Dowód przez indukcję ze względu na   Przypadek   jest trywialny, dla   jest   Niech