Wielokąt foremny

wielokąt o równych bokach i kątach

Wielokąt foremnywielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości[1].

Przykładowe wielokąty foremne, mające od trzech do ośmiu boków

Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Przyjęte oznaczenia:

  – liczba boków wielokąta foremnego,
  – długość jednego boku wielokąta.
 
  • Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
 
 
 
  • Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
 
  • Wzór na obwód wielokąta foremnego:
 
 
 
gdzie  
  • Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)
 

Tabela wielokątów foremnych

edytuj

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa Ilustracja Liczba boków Miara kąta wewnętrznego Konstruowalny
cyrklem i linijką?
Trójkąt równoboczny   3    
Kwadrat   4    
Pięciokąt foremny   5    
Sześciokąt foremny   6    
Siedmiokąt foremny   7    
Ośmiokąt foremny   8    
Dziewięciokąt foremny   9    
Dziesięciokąt foremny   10    

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. wielokąt, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-11-03].

Linki zewnętrzne

edytuj