Wielokąt foremny

Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości^[1].

Najmniejszą możliwą liczbą boków wielokąta foremnego jest 3. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt (dwubok) foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby 0°.

Trójkąt foremny jest określany jako trójkąt równoboczny, czworokąt foremny – jako kwadrat.

Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że $n$ -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą postaci $2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},$ gdzie $p_{1},p_{2},\dots ,p_{s}$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.

Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Wzory

Przyjęte oznaczenia:

n

– liczba boków wielokąta foremnego,

a

– długość jednego boku wielokąta.

Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:

\gamma ={\frac {\pi (n-2)}{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}}.

Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):

\beta ={\frac {2\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {360^{\circ }}{n}}.

Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:

R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {cosec} {\frac {\pi }{n}}.

Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:

r={\frac {a}{2\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}.

Wzory na długość boku wielokąta foremnego:

{\begin{aligned}a&=2{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\\&=2R\sin {\frac {\pi }{n}}\\&=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}.\end{aligned}}

Wzór na obwód wielokąta foremnego:

L=n\cdot a.

Wzory na pole powierzchni wielokąta foremnego:

{\begin{aligned}S&={\frac {1}{4}}na^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {nar}{2}}\\&=nr^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}\\&=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}\\&={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}.\end{aligned}}

Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:

d_{k}={\frac {a\sin {\frac {(k+1)\pi }{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}},

gdzie

k\in \mathbb {N} ,\ 1\leqslant k\leqslant n-3.

Kąt między dowolnymi sąsiednimi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka (włącznie z bokami wychodzącymi z tego wierzchołka)

\gamma ={\frac {\pi }{n}}\mathrm {rad} \,\!={\frac {180^{\circ }}{n}}.

Tabela wielokątów foremnych

Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.

Nazwa	Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego
Trójkąt równoboczny	3	$60^{\circ }$
Kwadrat	4	$90^{\circ }$
Pięciokąt foremny	5	$108^{\circ }$
Sześciokąt foremny	6	$120^{\circ }$
Siedmiokąt foremny	7	${128{\tfrac {4}{7}}}^{\circ }$
Ośmiokąt foremny	8	$135^{\circ }$
Dziewięciokąt foremny	9	$140^{\circ }$
Dziesięciokąt foremny	10	$144^{\circ }$