Otwórz menu główne
Wpisany w okrąg wielokąt z zaznaczonymi symetralnymi.

Okrąg opisany na wielokącieokrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta.

Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta oraz wielokąta foremnego.

Okrąg opisany na trójkącieEdytuj

Okrąg można opisać na każdym trójkącie. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach równych odpowiednio       wynosi:

  (gdzie   jest polem trójkąta).

Promień możemy wyznaczyć też z twierdzenia sinusów, ze wzoru:

 

PrzykładEdytuj

Wystarczy znać długość boku i leżącego naprzeciwko niego kąta, np. mając dane   i   obliczamy

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy   Przeciwprostokątna   jest zarazem średnicą tego okręgu, a kąt prosty trójkąta – oparty na średnicy.

Z kolei w przypadku trójkąta równobocznego o boku   stosuje się wzór:

 

Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącieEdytuj

Twierdzenie. Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe  

 

DowódEdytuj

 
Okrąg opisany na czworokącie

Kąty   i   oraz   i   są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku otrzymujemy następujące zależności:

 
 

Jednocześnie kąty   i   tworzą razem kąt pełny. Zatem:

 
 
 

Analogicznie postępujemy dla drugiej pary kątów.

Przypuśćmy przeciwnie, że na czworokącie   nie można opisać okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie   oznaczmy przez   Wówczas albo: suma kątów   i   jest większa lub równa   albo przynajmniej jedna z półprostych otwartych     przecina łuk   (bo jeden z kątów     jest mniejszy niż  ).

W pierwszym przypadku ze względu na sumę kątów w czworokącie kąt   byłby mniejszy bądź równy   i suma jego i kąta   byłaby mniejsza niż  

W drugim przypadku bez zmniejszenia ogólności można założyć, że półprosta   przecina okrąg w punkcie   Ale wtedy z udowodnionej części twierdzenia zachodzi   i jeśli założyć, że spełniony jest warunek   to będzie z niego wynikać równość kątów   i   Następnie ze współliniowości     i   oraz twierdzenia Talesa równoległość   i   sprzeczna z tym, że się przecinają.

Zobacz teżEdytuj