Otwórz menu główne
Trójkąt prostokątny
a, b – długości przyprostokątnych,
c – długość przeciwprostokątnej,
α, β – miary kątów ostrych,
h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

Trójkąt prostokątnytrójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5[1].

Trójkąt prostokątny jest figurą, na której opierają się podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych kątów przy przeciwprostokątnej.

Spis treści

Własności geometryczneEdytuj

Związki metryczneEdytuj

  • Boki trójkąta prostokątnego spełniają twierdzenie Pitagorasa;
  • Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość   jest ona zarazem średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną spodek wysokości.
  • Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:
 
 
 
 
  • Promień okręgu opisanego wyraża się wzorem:  
  • Promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem:  

Dowód: Zgodnie z wzorem na różnicę kwadratów:   Z twierdzenia Pitagorasa wynika:   Zatem z wzorów na pole trójkąta:   i  

  • Niech   oznaczają promienie okręgów wpisanych w trójkąty, na które dzieli go wysokość. Wówczas zachodzą równości:
 

Dowód: Z wzoru na promień okręgu wpisanego:       gdzie   to długości odcinków, na które wysokość dzieli   Zatem    

 

co wynika z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

  • Niech   oznaczają promienie okręgów dopisanych. Wówczas są spełnione:
 
 

PrzypisyEdytuj

  1. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.

BibliografiaEdytuj

  • Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Wyd. 1 uzupełnione. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 224–225. ISBN 83-86007-63-X. (pol.)