Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)

przekształcenie geometryczne

Podobieństwoprzekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Kształt figur jest zachowany, ale ich wielkości mogą się różnić. Dwie figury geometryczne, dla których istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną figurę na drugą, nazywają się figurami podobnymi.

Mianem podobieństwo określa się też relację równoważności między figurami podobnymi.

DefinicjaEdytuj

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni metrycznej   na siebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów   i pewnej liczby   zależność:

 

gdzie punkty  obrazami punktów odpowiednio   a   – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru  

Liczbę   nazywa się skalą bądź stosunkiem podobieństwa.

Gdy   podobieństwo jest izometrią.

W szczególności   może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią trójwymiarową ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur   i   oznacza się symbolicznie jako  

PrzykładyEdytuj

 
Figury podobne zaznaczono tym samym kolorem

Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

WłasnościEdytuj

  • Złożenie podobieństw o skalach   jest podobieństwem o skali  
  • Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali   jest podobieństwem o skali  
  • Dowolne podobieństwo przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności o skali równej skali podobieństwa.
  • Dowolne podobieństwo niebędące izometrią ma dokładnie jeden punkt stały przekształcenia.

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

  • stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
  • odpowiadające sobie kąty są przystające,
  • stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
  • stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych.

Klasyfikacja podobieństwEdytuj

Prosta

Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje podobieństw:

Płaszczyzna

Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje podobieństw:

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: PWN, 1976.