Otwórz menu główne

Funkcja odwrotnafunkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

DefinicjaEdytuj

Funkcję   nazywamy odwracalną w   gdy istnieje funkcja   taka, że:

  dla każdego  
  dla każdego  

Innymi słowy   jest taką funkcją, że złożenia   oraz   są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze   i   Funkcję   nazywamy funkcją odwrotną do   i oznaczamy symbolem  

Bezpośrednio z definicji wynika, że   jest funkcją odwracalną w   wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

 
Jeżeli   odwzorowuje   na   to   odwzorowuje   na  

Oznaczenia   nie należy mylić z symbolem  

IstnienieEdytuj

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

WyznaczanieEdytuj

Wyznaczenie funkcji odwrotnej   do danej   polega na rozwiązaniu równania

 

względem niewiadomej   Rozwiązanie, czyli

 

to poszukiwana funkcja odwrotna.

PrzykładyEdytuj

 
Funkcja   ma odwrotną   ponieważ   odwzorowuje   na 3, to   przekształca 3 w  
  • Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL[1])
  • Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
  • Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem   jest funkcja  
  • Funkcja   nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że   (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem   dla   nie jest funkcją odwrotną do funkcji  
  • Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem   dla   jest ona sama, tzn.   (zob. Inwolucje).

WłasnościEdytuj

JednoznacznośćEdytuj

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

SymetriaEdytuj

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do   jest   to odwrotną do   jest funkcja   Symbolicznie:

 

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

 

Odwrotność złożeniaEdytuj

 
Funkcją odwrotną do   jest  

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

 

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku   i   aby odwrócić działanie   następującego po   należy najpierw odwrócić   a następnie odwrócić  

InwolucjeEdytuj

Jeżeli   jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na   jest swoją własną odwrotnością:

 

Ogólniej, jeżeli funkcja   jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie   jest równe   Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własnościEdytuj

  • Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
  • Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej   jest ciągła.
  • Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej   jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których   w szczególności  
  • Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej   jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych   (o równaniu  ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu  ) względem prostej  

PrzypisyEdytuj

  1. Przez pomyłkę nadano kilku tysiącom osób ten sam numer PESEL (pol.). wiadomosci.wp.pl. [dostęp 2017-11-08].