Otwórz menu główne

Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładniczafunkcja postaci:

gdzie

Niektórzy autorzy[1] wymagają, aby podstawa funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla funkcja jest funkcją stałą.

WłasnościEdytuj

  •  
  •  
  • Dla   funkcja wykładnicza o podstawie   jest rosnąca, dla   malejąca. Jeśli   to funkcja   jest stała.
  • Pochodna funkcji wykładniczej to:
 

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla   mamy

 
  • Funkcja wykładnicza o podstawie   jest (przy argumencie dążącym do  ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalnaEdytuj

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej   (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest   (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji   jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego:

 

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

 

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy:  

Wykres funkcji  :

 

Płaszczyzna zespolonaEdytuj

 
Wykres   na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny.

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

 

Jest to funkcja okresowa z okresem   i można ją zapisać jako:

 

gdzie a i b to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

dla wszystkich z i w.

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowaniaEdytuj

MatematykaEdytuj

Inne dziedzinyEdytuj

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1. Warszawa: PWN, 1978. s. 87.