Funkcja wykładnicza

funkcja, w której argument to wykładnik potęgi

Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna[1] – w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci:

Wykres funkcji
gdzie

Liczba – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej.

Niektórzy autorzy nakładają dodatkowy warunek ponieważ dla funkcja ta jest stała[2][3].

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista lub płaszczyzna zespolona. W pierwszym wypadku:

Funkcje wykładnicze są zaliczane do elementarnych i definiują niektóre inne z tej rodziny, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne czy pośrednio polowe. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych.

Własności edytuj

  •  
  •  
 

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla   mamy

 
  • Funkcja wykładnicza o podstawie   jest (przy argumencie dążącym do  ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna edytuj

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej   (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest   (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji   jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

 

przy warunku początkowym

 

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

 

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy:  

Płaszczyzna zespolona edytuj

 
Wykres   na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

 

Jest to funkcja okresowa z okresem   i można ją zapisać jako:

 

gdzie   i   to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

dla wszystkich   i  

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania edytuj

Matematyka edytuj

Inne dziedziny edytuj

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. funkcja eksponencjalna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-08-30].
  2. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978. s. 87.
  3. a b funkcja wykładnicza, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-08-30].