Otwórz menu główne
Funkcja wykładnicza (czerwona linia ciągła) i odpowiadający jej wielomian Taylora czwartego stopnia (zielona linia przerywana) w okolicach początku układu współrzędnych.

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji -razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory.

W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Twierdzenie TayloraEdytuj

Niech   będzie przestrzenią unormowaną oraz   będzie funkcją  -razy różniczkowalną na przedziale   w sposób ciągły (na końcach przedziału zakłada się różniczkowalność z lewej, bądź odpowiednio, z prawej strony). Wówczas dla każdego punktu   z przedziału   spełniony jest wzór zwany wzorem Taylora

 

gdzie   jest pochodną k-tego rzędu funkcji   obliczoną w punkcie     spełnia warunek

 

Funkcja   nazywana jest resztą Peana we wzorze Taylora. W przypadku   wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina.

Przybliżanie funkcji za pomocą wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się jedynie do otoczenia wybranego punktu   Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej, że są dostatecznie bliskie punktu   Sensowne wydaje się jednak pytanie o to, kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.

Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawnyEdytuj

W przypadku gdy   jest ciałem liczb rzeczywistych, resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty:

Reszta w postaci całkowejEdytuj

 

Reszta w postaci Lagrange’aEdytuj

Istnieje takie   że

 

Lub inaczej, istnieje takie   dla   lub   dla   że

 

Uwaga: W tym przypadku założenie   nie jest istotne.

Reszta w postaci Cauchy’egoEdytuj

Istnieje takie   że

 

Reszta w postaci Schlömilcha-Roche’aEdytuj

Dla każdego   istnieje takie   że

 

Dla   otrzymujemy postać Cauchy’ego reszty.
Dla   otrzymujemy postać Lagrange’a reszty.

Szacowanie resztyEdytuj

Jeżeli   jest  -krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie   że

  dla  

to dla reszty   we wzorze Taylora dla   mamy oszacowanie

  dla  

Przy czym za   wystarczy obrać supremum wartości jakie  -wsza pochodna funkcji   przyjmuje dla argumentów z przedziału  

Jeżeli natomiast,   jest  -krotnie różniczkowalna oraz   jest taką liczbą, że

  dla  

to dla reszty   we wzorze Taylora dla   mamy oszacowanie

  dla  

Szereg TayloraEdytuj

Jeśli funkcja   gdzie   oraz   tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie   pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg

 

gdzie przyjęto   Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji   Jeżeli   to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Samą funkcję   nazywa się funkcją analityczną w punkcie   jeśli dla pewnego otoczenia tego punktu powyższy szereg jest zbieżny punktowo do funkcji   (funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Taylora). Jeśli jest ona analityczna w każdym punkcie dziedziny, to nazywa się ją po prostu analityczną lub gładką (zob. funkcja regularna). Pojęcie funkcji analitycznej określonej w dziedzinie zespolonej pokrywa się z pojęciem funkcji holomorficznej. W dziedzinie rzeczywistej tak nie jest, każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale nie na odwrót.

Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji   w punkcie   warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego   szereg Taylora funkcji   był zbieżny do   jest, aby ciąg   reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.

Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla  -tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej   spełniającej powyższe założenia, można znaleźć, licząc kilka pierwszych wartości:

 

przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:

 

Geneza i wyprowadzenie wzoruEdytuj

Celem jest znalezienie dla dowolnej funkcji   co najmniej   razy różniczkowalnej, niebędącej skończonym wielomianem, odpowiadającego jej wielomianu   stopnia   który jest równy funkcji   tzn. dziedziny obu funkcji są takie same i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości obu funkcji dla tego argumentu są również takie same:

 

Weźmy teraz pewien argument   należący do tej dziedziny, tzn.   Równanie   jest pierwszym warunkiem równości obu tych funkcji, ale niewystarczającym. Istnieje bowiem wiele (a dokładniej nieskończenie wiele) wielomianów stopnia   które dla tego argumentu spełniają powyższą równość. Ponieważ jest to równanie funkcyjne, gdyż niewiadomą jest tutaj funkcja, a nie wartość liczbowa, jako drugi warunek równości obu funkcji może być porównanie ich pochodnych w punkcie   czyli   Mając już 2 warunki równości obu funkcji, zawężamy zbiór dopuszczalnych rozwiązań, a więc wielomianów spełniających te równania, jednak nadal jest ich dużo (nieskończenie wiele), w związku z czym dodajemy trzecie równanie analogicznie, tym razem dla pochodnych tych funkcji stopnia 2, dalej dodajemy kolejne równanie – dla pochodnych stopnia 3 itd., zawężając za każdym nowym takim warunkiem coraz bardziej zbiór dopuszczalnych rozwiązań (cały czas jest ich jednak nieskończenie wiele). Na końcu dodajemy  -szy warunek porównujący pochodne  -tego stopnia naszych funkcji, co uznajemy za warunek wystarczający do wyznaczenia szukanego przez nas wielomianu. Należy jednak pamiętać, że jeśli   jest liczbą skończoną, tzn. zarówno ilość warunków, jak i współczynników naszego wielomianu   jest skończona, wówczas znaleziony wielomian nie będzie dokładnym rozwiązaniem, a jedynie przybliżonym w stopniu   W rezultacie otrzymujemy poniższy układ równań.

 

Powyższy układ równań należy rozumieć jako wielomian, dla którego w punkcie   równe są sobie wartości funkcji   z   ich pochodne, ich pochodne stopnia   Wielomian   oznaczmy jako   gdzie niewiadomymi są jego współczynniki   Wówczas powyższy układ równań staje się układem   równań z   niewiadomymi współczynnikami  

 

Układ ten można rozwiązać różnymi sposobami, np. za pomocą wyznaczników macierzy, stosując wzory Cramera, ale najprościej jest zastosować metodę eliminacji Gaussa, czyli podstawień elementarnych, poczynając od ostatniego  -tego równania, który zawiera tylko jedną niewiadomą, i posuwając się po kolei aż do pierwszego równania, gdyż każde równanie zawiera wszystkie niewiadome obliczone we wcześniej obliczonych równaniach plus jedną nową niewiadomą, co znacznie ułatwia rozwiązanie całego układu. Po jego rozwiązaniu, patrząc na jego rozwiązania, nietrudno zauważyć, że każde takie rozwiązanie sprowadzić można do postaci:

 

Na koniec obliczamy wartość funkcji   a więc już dla dowolnego   należącego do dziedziny, czyli   w oparciu o wielomian   w którym za kolejne jego współczynniki   podstawiamy obliczone w powyższym układzie równań wyrażenia.

 

Po podstawieniu za wszystkie współczynniki   wyrażeń obliczonych we wcześniejszym układzie równań i uproszczeniu całego wyrażenia otrzymujemy wzór Taylora.

 

Pamiętajmy, że w celu otrzymania dokładnego wielomianu   musi dążyć do nieskończoności, czyli   tzn. zarówno ilość warunków w układzie równań, jak i współczynników naszego wielomianu   musi być nieskończona.

Rozwinięcia niektórych funkcji w szereg MaclaurinaEdytuj

Wszystkie poniższe rozwinięcia są poprawne także po rozszerzeniu dziedziny funkcji na liczby zespolone – domyślnie   jest więc liczbą zespoloną, chyba że zaznaczono inaczej.

Pierwiastek kwadratowyEdytuj

 

Funkcja wykładnicza i logarytm naturalnyEdytuj

 
 

Szereg geometrycznyEdytuj

 

Uogólniony dwumian NewtonaEdytuj

 
gdzie  

Funkcje trygonometryczne i cyklometryczneEdytuj

 
Im większy stopień wielomianu interpolacyjnego we wzorze Taylora, tym lepiej przybliża on wyjściową funkcję. Na rysunku: rozwinięcia funkcji sinus stopnia      1,      3,      5,      7,      9,      11 i      13.
 
 
 

gdzie   oznaczają liczby Bernoulliego.

 

gdzie   oznaczają liczby Eulera.

 
 
 

Funkcje hiperboliczne i area hiperboliczneEdytuj

 
 
 
 
 

Funkcja W LambertaEdytuj

 

Uogólnione twierdzenie TayloraEdytuj

Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane również twierdzeniem Taylora.

Niech szereg potęgowy   będzie zbieżny dla   i niech   oznacza sumę tego szeregu na przedziale   Jeżeli   to funkcję   można rozwinąć w punkcie   w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla   przy czym

 

Przykłady obliczaniaEdytuj

Przykład 1Edytuj

Znaleźć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji

 

będącą wielomianem stopnia 6.

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu i cosinusa

 
 

podstawiamy odpowiednio, upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:

 
 
 

Przykład 2Edytuj

Znaleźć postać szeregu Maclaurina funkcji

 

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu funkcji wykładniczej i cosinusa

 
 

Planujemy postać szeregu Maclaurina:

 

Mnożymy wyrażenie przez  

 

Porządkujemy odpowiednie współczynniki:

 

Porównując współczynniki, dostajemy:

 

Przykład zastosowaniaEdytuj

Obliczyć w przybliżeniu  

  jest znany, podobnie jak wartości kolejnych pochodnych funkcji   w punkcie   tak więc:
 
 
 

Przy czym błąd jest nie większy niż:

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. trzecie fotograficzne. T. I. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 201–218.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa, Poznań: PWN, 2000. ISBN 83-01-02846-7.