Otwórz menu główne

Liczby zespolone

rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną
Liczby zespolone mogą być przedstawione jako współrzędne wektora na płaszczyźnie zespolonej

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną to znaczy pierwiastek wielomianu Liczby zespolone rozszerzają koncepcję jednowymiarowej osi liczbowej do dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej, przy zastosowaniu osi poziomej do oznaczenia liczb rzeczywistych, a pionowej do oznaczenia liczb urojonych. Liczba zespolona postaci może być określona za pomocą współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone pozbawione części rzeczywistej, a zatem leżące bezpośrednio na osi pionowej płaszczyzny zespolonej, nazywane są liczbami urojonymi, zaś liczby pozbawione części urojonej, a więc leżące bezpośrednio na osi poziomej, to liczby rzeczywiste. Zbiór liczb zespolonych zawiera zatem w sobie zbiór liczb rzeczywistych, rozszerzony w celu umożliwienia rozwiązywania takich problemów, które nie posiadają rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Poza matematyką liczby zespolone znajdują zastosowanie także w innych dziedzinach nauki, jak fizyka, chemia, biologia, ekonomia, elektrotechnika i statystyka.

Po raz pierwszy pojęcie liczb zespolonych, jako składających się z części rzeczywistej oraz urojonej, wprowadził niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss w 1832[1]. Problem istnienia pól o ujemnej wartości rozważał znacznie wcześniej włoski matematyk Girolamo Cardano podczas prób znalezienia rozwiązań równań sześciennych w XVI wieku. Nazywał je liczbami fikcyjnymi[2]. Kartezjusz nadał im nazwę liczb urojonych w pracy wydanej w 1637[3]. Samo istnienie pierwiastka kwadratowego liczby ujemnej było najprawdopodobniej po raz pierwszy rozważane już w starożytności przez Herona z Aleksandrii[1].

Postać algebraiczna (kanoniczna)Edytuj

Każdą liczbę zespoloną   można zapisać w postaci

 

gdzie   i   są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz   jest tak zwaną jednostką urojoną, to znaczy jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniających warunek   (drugim elementem jest  ). Spotyka się czasami zapis   który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również   jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Postać   nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej  

Dla liczby   definiuje się jej

  • część rzeczywistą (łac. pars realis) jako   (inne oznaczenia:  ),
  • część urojoną (łac. pars imaginaria) jako   (inne oznaczenia:  ).

Przykładowo liczba   jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi   a część urojona   Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej  

Liczby postaci   nazywa się liczbami urojonymi.

Zapis alternatywnyEdytuj

W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych i tym podobnych zapis   może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery   do innych celów, na przykład chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie   w którym to   oznacza jednostkę urojoną.

 
Wykres funkcji
 
wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł.

RównośćEdytuj

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe. Innymi słowy, liczby zespolone   oraz   są równe wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz  

DziałaniaEdytuj

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym  

 
 

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

 

Płaszczyzna zespolonaEdytuj

Osobny artykuł: płaszczyzna zespolona.
 
Płaszczyzna zespolona

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie, podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

Każdej więc liczbie zespolonej   można przyporządkować wektor   i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:

  •  
  •  

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

ModułEdytuj

Osobny artykuł: moduł liczby zespolonej.

Zauważmy, iż długość wektora   jest równa z twierdzenia Pitagorasa   Dla liczby   moduł definiujemy jako   Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, spełniając przy tym definicję normy.

ArgumentEdytuj

Osobny artykuł: argument liczby zespolonej.

Niech   oznacza kąt, który wektor   tworzy z prostą   oznaczmy go przez   Jest to tzw. argument. Widać, iż   i   Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby   spełniający nierówność   (czasami też równoważnie  ) oznacza się przez   i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób   jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla   Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz   dla ujemnych.

Postać trygonometrycznaEdytuj

Osobny artykuł: współrzędne biegunowe.

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):

 

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj.   oraz   są równe, gdy

 

oraz (istotne tylko dla  )

 

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:

 

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

 
 

Powyższy wzór ma wiele przypadków[a], lecz istnieje wzór korzystający z funkcji arcus cosinus, który wymaga mniejszej ich liczby:

 

MnożenieEdytuj

Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

 
 

Wówczas iloczyn

 

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne, otrzymujemy ostatecznie

 

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez   można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt  

Wzór de Moivre’aEdytuj

Osobny artykuł: wzór de Moivre’a.

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia   dla danego wykładnika   przy warunku   Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy   Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

 

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu  -tej potęgi funkcji   i   – należy wówczas obliczyć   przy  

PierwiastkowanieEdytuj

Osobny artykuł: pierwiastkowanie.

Istnieje wersja wzoru de Moivre’a dla wykładników wymiernych. Każda niezerowa liczba zespolona   ma dokładnie   różnych pierwiastków  -tego stopnia, które wyrażają się wzorem

 

gdzie   oraz  

Postać wykładniczaEdytuj

Rzeczywiste funkcje     oraz   zmiennej rzeczywistej można rozwinąć na szeregi Maclaurina:

 [4],

które są zbieżne dla każdego   Ponieważ w tych wzorach występują jedynie działania dodawania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi o wykładniku naturalnym, które są dobrze zdefiniowane dla liczb zespolonych, to wzory te mogą posłużyć jako definicje zespolonych funkcji zmiennej zespolonej. Mianowicie definiuje się funkcje:

 [5],
 [5],
 [6].

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego   gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[7].

Korzystając z pojęcia iloczynu Cauchy’ego szeregów, można udowodnić, że:

  dla każdych  [5].

Z definicji oraz własności szeregów wynikają następujące wzory:

  dla dowolnego  [5].

W szczególności:   dla dowolnego   (jest to tzw. wzór Eulera).

Zatem każda liczba zespolona różna od zera ma następujące przedstawienie:

  które nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.

Pierwiastki zespolone w postaci wykładniczej wyrażają się wzorami:

  dla  

Korzystając z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa, można też wyprowadzić następujące wzory na funkcje trygonometryczne:

 [5],
 [5].

SprzężenieEdytuj

Osobny artykuł: sprzężenie zespolone.

Niech   Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:

 

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi   płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na   lub równoważnie – zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś   Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją:  

Relacja porządkuEdytuj

Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł, jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

PrzykładyEdytuj

Przedstawmy liczbę   (zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej, obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

Postać algebraiczna:

 
 

Obliczamy

 
 
 
 

podobnie

 

Stąd postać trygonometryczna   oraz   to

 
 

zaś wykładnicza:

 
 

Konstrukcje i własnościEdytuj

Konstrukcja HamiltonaEdytuj

Zobacz więcej w artykule Aksjomaty i konstrukcje liczb, w sekcji Liczby zespolone.

Następująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od Hamiltona, matematyka irlandzkiego.

W iloczynie kartezjańskim   wprowadza się działania dodawania i mnożenia:

  •  
  •  

gdzie  

Tak określona struktura   jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem   (od ang. complex – złożony)[b]. Wówczas   odpowiada wektorowi  

CiałoEdytuj

Ciało to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określone prawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc:

  • element neutralny dodawania („zero”),  
  • element neutralny mnożenia („jedynka”),  
  • element odwrotny dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby   jest nim  
  • element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby   jest nim  

Innymi ciałami są liczby rzeczywiste i liczby wymierne. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej   z liczbą zespoloną   sprawia, że liczby rzeczywiste   stają się podciałem  

Liczby zespolone   mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne liczb algebraicznych oraz jako domknięcie algebraiczne   co opisano dalej.

Reprezentacja macierzowaEdytuj

Chociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jego naturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-macierz o współczynnikach rzeczywistych, które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jest postaci

 

gdzie   Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie mnożenia macierzy tego typu jest przemienne. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stąd macierze tego typu są ciałem izomorficznym z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisana jako

 

co sugeruje, że liczba rzeczywista   powinna być utożsamiana z macierzą identycznościową  

 

a jednostka urojona   z

 

obrotem o   w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jest równy 2×2-macierzy reprezentującej  

Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy wyznacznikowi tej macierzy.

 

Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowi liczby zespolonej i skaluje o współczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej   odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co   lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten sam sposób, co   może to być oddane jako transpozycja macierzy odpowiadającej  

Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana z kwaternionami. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia konstrukcji Cayleya-Dicksona algebr.

Istnieją dwa wektory własne 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jej sprzężenie.

Rzeczywista przestrzeń liniowaEdytuj

Ciało   jest dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych, liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób uporządkowane liniowo tak, by było to zgodne z działaniami arytmetycznymi w nich określonymi:   nie może być przekształcone w ciało uporządkowane. Ogólniej: żadne ciało zawierające pierwiastek z   nie może być uporządkowane.

W ogólności  -liniowe przekształcenia   są postaci

 

gdzie   są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest  -liniowy i tylko on jest holomorficzny, drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia równań Cauchy’ego-Riemanna.

Funkcja

 

odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja

 

odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).

Rozwiązania równań wielomianowychEdytuj

Pierwiastek wielomianu   to liczba zespolona   spełniająca   Zaskakującym wynikiem analizy zespolonej jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia   o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych mają dokładnie   pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik ten znany jest jako podstawowe twierdzenie algebry i pokazuje, że liczby zespolone są ciałem algebraicznie domkniętym. Rzeczywiście, są one domknięciem algebraicznym liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.

Konstrukcja algebraicznaEdytuj

Jedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na rozszerzeniu ciała liczb rzeczywistych   o pierwiastek wielomianu   Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień   wielomianów o współczynnikach. Wielomian   jest nierozkładalny nad   skąd ideał przez niego generowany   jest maksymalny, a więc pierścień ilorazowy   jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastki kwadratowe   wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem   Zbiór   stanowi bazę tego rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci

 

dla pewnych   rzeczywistych.

Algebraiczna domkniętośćEdytuj

Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki   to otrzymane ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte – każdy wielomian o współczynnikach w   można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikach z   Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, domknięcie algebraiczne, liczby zespolone mogą być scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.

Charakteryzacja algebraicznaEdytuj

Opisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłącznie algebraicznie. Ciało   jest scharakteryzowane z dokładnością do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:

Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że   zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z   (to samo jest prawdą dla   które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnić te podciała od samych ciał   i   wymagane są rozważania topologiczne.

Charakteryzacja topologicznaEdytuj

Jak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja   nie dostarcza pewnych z jego najważniejszych własności topologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania analizy zespolonej, gdzie liczby zespolone badane są jako ciało topologiczne.

Następujące własności charakteryzują   jako ciało topologiczne[potrzebny przypis]:

  •   jest ciałem,
  •   zawiera podzbiór   niezerowych elementów spełniających:
    •   jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,
    • jeżeli   i   są różnymi elementami   to tak   jak i   należą do  
    • jeżeli   jest niepustym podzbiorem   to   dla pewnego  
  •   ma nietrywialny, będący inwolucją automorfizm   który dla ustalonego   spełnia własność, że   należy do   dla dowolnego niezerowego  

Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię, biorąc zbiory

  •  

jako bazę, gdzie   przebiega to ciało, a   przebiega  

Aby przekonać się, że te własności charakteryzują   jako ciało topologiczne, należy zauważyć, że   to ciało uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda, które może być w związku z tym utożsamiane z liczbami rzeczywistymi   poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniej własności łatwo wynika, że grupa Galois nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełnia charakteryzację.

Lew Pontriagin pokazał, że jedynymi spójnymi lokalnie zwartymi ciałami topologicznymi  oraz   Fakt ten umożliwia jeszcze jedną charakteryzację   jako ciała topologicznego, ponieważ   może być odróżnione od   poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są spójne w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.

HistoriaEdytuj

Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie   nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzór Cardana).

Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru   z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona.

ZastosowaniaEdytuj

Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni rzeczywistej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.

Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w samej matematyce:

a także poza nią, w jej zastosowaniach:

Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. W wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie.
  2. Istnieje też nieużywane powszechnie polskie oznaczenie szkolne:   formalnie odpowiadające zbiorowi liczb całkowitych, nie zaś zespolonym.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj