Liczby zespolone

uogólnienie liczb rzeczywistych zawierające pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych

Liczby zespoloneuogólnienie zbioru liczb rzeczywistych zawierające jednostkę urojoną liczbę, której kwadrat, czyli druga potęga, wynosi minus jeden[4]: Taki obiekt nie występuje na rzeczywistej osi liczbowej, jednak można go skonstruować za pomocą liczb rzeczywistych, co opisano dalej. Iloczyny jednostki urojonej i liczb rzeczywistych – czyli postaci – są nazywane liczbami urojonymi. Liczbami zespolonymi nazywa się dowolną sumę liczby rzeczywistej i urojonej, czyli wyrażenia algebraiczne postaci gdzie [4].

Każdą liczbę zespoloną można przedstawić jako punkt lub wektor na płaszczyźnie zespolonej. Diagram, który to robi za pomocą prostokątnego (kartezjańskiego) układu współrzędnych, jest znany jako diagram Arganda[1]
Standardowy symbol zbioru liczb zespolonych[2]:
Liczby zespolone mogą być wykładnikami potęgi. Wzór Eulera opisuje dowolne urojone potęgi liczby e, czyli wartości odpowiedniej funkcji wykładniczej dla urojonych argumentów. Konsekwencją tego wzoru jest podana wyżej tożsamość Eulera nazywana „najpiękniejszym wzorem matematyki”[3]

Zbiór ten zwykle oznacza się dużą literą [2]. Można w nim wykonywać cztery podstawowe działania arytmetyczne, czyli dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez wszystkie liczby oprócz zera; są przy tym zachowane podstawowe własności tych działań jak:

Liczby zespolone można też:

Obliczenia na liczbach zespolonych bywają prostsze przy użyciu ich alternatywnych postaci, znanych jako trygonometryczna i wykładnicza[4], co opisano niżej.

Liczby zespolone mają standardowe przedstawienie geometryczne – można je rozumieć jako punkty na płaszczyźnie, na której leży także oś rzeczywista, lub jako ich wektory wodzące, tj. prowadzące do nich z zera[4]. Taka dwuwymiarowa konstrukcja jest znana jako płaszczyzna zespolona lub płaszczyzna Gaussa[4]. Można na niej wprowadzać różne układy współrzędnych:

  • układ prostokątny (kartezjański) opisuje liczbę zespoloną za pomocą uporządkowanej pary liczb rzeczywistych nazywanych odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną, oznaczanych [4];
  • układ biegunowy opisuje każdą z tych liczb za pomocą odległości od zera – początku tego układu – oraz miary kąta między tym wektorem a półprostą liczb dodatnich. Wielkości te są znane jako moduł i argument główny, oznaczane za ich pomocą konstruuje się wspomniane postaci trygonometryczne i wykładnicze[4].

Diagram przedstawiający płaszczyznę zespoloną (Gaussa) z kartezjańskimi osiami współrzędnych jest znany jako diagram Arganda[1]; jego przykład podano obok. Istnieją też inne geometryczne opisy tego zbioru liczbowego, np. sfera Riemanna rozszerzająca liczby zespolone o nieskończoność[6].

Liczby zespolone są rozważane od XVI wieku[7], kiedy użyto ich w algebrze do rozwiązywania równań trzeciego stopnia, inaczej sześciennych. Odtąd przenikły do różnych działów matematyki i jej zastosowań:

W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby zespolone tworzą ciało i są rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną[12]. Podano różne konstrukcje tej struktury algebraicznej, oparte na parach uporządkowanych, macierzach, przekształceniach liniowych płaszczyzny kartezjańskiej i na pierścieniach ilorazowych, co opisano niżej. Opisano też uogólnienia liczb zespolonych jak kwaterniony, inne liczby hiperzespolone i inne algebry Clifforda.

Postać algebraiczna (kanoniczna) edytuj

Każdą liczbę zespoloną   można zapisać w postaci

 

gdzie   i   są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz   jest tak zwaną jednostką urojoną, to znaczy jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniających warunek   (drugim elementem jest  ). Spotyka się czasami zapis   który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również   jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Postać   nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej  

Dla liczby   definiuje się jej

  • część rzeczywistą (łac. pars realis) jako   (inne oznaczenia:  ),
  • część urojoną (łac. pars imaginaria) jako   (inne oznaczenia:  ).

Przykładowo liczba   jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi   a część urojona   Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej  

Liczby postaci   nazywa się liczbami urojonymi.

Zapis alternatywny edytuj

W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych i tym podobnych zapis   może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery   do innych celów, na przykład chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie   w którym to   oznacza jednostkę urojoną.

Równość edytuj

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe. Innymi słowy, liczby zespolone   oraz   są równe wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz  

Działania edytuj

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym  

 
 

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

 

Płaszczyzna zespolona edytuj

Osobny artykuł: płaszczyzna zespolona.
 
Płaszczyzna zespolona

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie, podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

Każdej więc liczbie zespolonej   można przyporządkować wektor   i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:

  •  
  •  

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

Moduł edytuj

Osobny artykuł: moduł liczby zespolonej.

Zauważmy, iż długość wektora   jest równa z twierdzenia Pitagorasa   Dla liczby   moduł definiujemy jako   Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, spełniając przy tym definicję normy.

Argument edytuj

Osobny artykuł: argument liczby zespolonej.

Niech   oznacza kąt, który wektor   tworzy z prostą   oznaczmy go przez   Jest to tzw. argument. Widać, iż   i   Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby   spełniający nierówność   (czasami też równoważnie  ) oznacza się przez   i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób   jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla   Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz   dla ujemnych.

Postać trygonometryczna edytuj

Osobny artykuł: współrzędne biegunowe.

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):

 

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj.   oraz   są równe, gdy

 

oraz (istotne tylko dla  )

 

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:

 

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

 
 

Powyższy wzór ma wiele przypadków[a], lecz istnieje wzór korzystający z funkcji arcus cosinus, który wymaga mniejszej ich liczby:

 

Mnożenie edytuj

Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

 
 

Wówczas iloczyn

 

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne, otrzymujemy ostatecznie

 

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez   można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt  

Wzór de Moivre’a edytuj

 
Abraham de Moivre (1667–1754)
Osobny artykuł: wzór de Moivre’a.

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia   dla danego wykładnika   przy warunku   Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy   Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

 

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu  -tej potęgi funkcji   i   – należy wówczas obliczyć   przy  

Pierwiastkowanie edytuj

Osobny artykuł: pierwiastkowanie.

Istnieje wersja wzoru de Moivre’a dla wykładników wymiernych. Każda niezerowa liczba zespolona   ma dokładnie   różnych pierwiastków  -tego stopnia, które wyrażają się wzorem

 

gdzie   oraz  

Postać wykładnicza edytuj

 
Leonhard Euler (1707–1786)

Rzeczywiste funkcje     oraz   zmiennej rzeczywistej można rozwinąć na szeregi Maclaurina:

 [13],

które są zbieżne dla każdego   Ponieważ w tych wzorach występują jedynie działania dodawania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi o wykładniku naturalnym, które są dobrze zdefiniowane dla liczb zespolonych, to wzory te mogą posłużyć jako definicje zespolonych funkcji zmiennej zespolonej. Mianowicie definiuje się funkcje:

 [14],
 [14],
 [15].

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego   gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych[16].

Korzystając z pojęcia iloczynu Cauchy’ego szeregów, można udowodnić, że:

  dla każdych  [14].

Z definicji oraz własności szeregów wynikają następujące wzory:

  dla dowolnego  [14].

W szczególności:   dla dowolnego   (jest to tzw. wzór Eulera).

Zatem każda liczba zespolona różna od zera ma następujące przedstawienie:

  które nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.

Pierwiastki zespolone w postaci wykładniczej wyrażają się wzorami:

  dla  

Korzystając z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa, można też wyprowadzić następujące wzory na funkcje trygonometryczne:

 [14],
 [14].

Sprzężenie edytuj

Osobny artykuł: sprzężenie zespolone.

Niech   Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:

 

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi   płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na   lub równoważnie – zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś   Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją:  

Relacja porządku edytuj

Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł, jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

Przykłady edytuj

Przedstawmy liczbę   (zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej, obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

Postać algebraiczna:

 
 

Obliczamy

 
 
 
 

podobnie

 

Stąd postać trygonometryczna   oraz   to

 
 

zaś wykładnicza:

 
 

Konstrukcje i własności edytuj

Konstrukcja Hamiltona edytuj

 
William Rowan Hamilton – autor ścisłej definicji liczb zespolonych
Zobacz więcej w artykule Aksjomaty i konstrukcje liczb, w sekcji Liczby zespolone.

Następująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od Hamiltona, matematyka irlandzkiego.

W iloczynie kartezjańskim   wprowadza się działania dodawania i mnożenia:

  •  
  •  

gdzie  

Tak określona struktura   jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem   (od ang. complex – złożony)[b]. Wówczas   odpowiada wektorowi  

Ciało edytuj

Ciało to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określone prawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc:

  • element neutralny dodawania („zero”),  
  • element neutralny mnożenia („jedynka”),  
  • element odwrotny dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby   jest nim  
  • element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby   jest nim  

Innymi ciałami są liczby rzeczywiste i liczby wymierne. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej   z liczbą zespoloną   sprawia, że liczby rzeczywiste   stają się podciałem  

Liczby zespolone   mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne liczb algebraicznych oraz jako domknięcie algebraiczne   co opisano dalej.

Reprezentacja macierzowa edytuj

Chociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jego naturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-macierz o współczynnikach rzeczywistych, które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jest postaci

 

gdzie   Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie mnożenia macierzy tego typu jest przemienne. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stąd macierze tego typu są ciałem izomorficznym z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisana jako

 

co sugeruje, że liczba rzeczywista   powinna być utożsamiana z macierzą identycznościową  

 

a jednostka urojona   z

 

obrotem o   w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jest równy 2×2-macierzy reprezentującej  

Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy wyznacznikowi tej macierzy.

 

Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowi liczby zespolonej i skaluje o współczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej   odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co   lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten sam sposób, co   może to być oddane jako transpozycja macierzy odpowiadającej  

Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana z kwaternionami. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia konstrukcji Cayleya-Dicksona algebr.

Istnieją dwa wektory własne 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jej sprzężenie.

Rzeczywista przestrzeń liniowa edytuj

Ciało   jest dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych, liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób uporządkowane liniowo tak, by było to zgodne z działaniami arytmetycznymi w nich określonymi:   nie może być przekształcone w ciało uporządkowane. Ogólniej: żadne ciało zawierające pierwiastek z   nie może być uporządkowane.

W ogólności  -liniowe przekształcenia   są postaci

 

gdzie   są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest  -liniowy i tylko on jest holomorficzny, drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia równań Cauchy’ego-Riemanna.

Funkcja

 

odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja

 

odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).

Rozwiązania równań wielomianowych edytuj

Pierwiastek wielomianu   to liczba zespolona   spełniająca   Zaskakującym wynikiem analizy zespolonej jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia   o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych mają dokładnie   pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik ten znany jest jako podstawowe twierdzenie algebry i pokazuje, że liczby zespolone są ciałem algebraicznie domkniętym. Rzeczywiście, są one domknięciem algebraicznym liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.

Konstrukcja algebraiczna edytuj

Jedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na rozszerzeniu ciała liczb rzeczywistych   o pierwiastek wielomianu   Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień   wielomianów o współczynnikach z   Wielomian   jest nierozkładalny nad   skąd ideał przez niego generowany   jest maksymalny, a więc pierścień ilorazowy   jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastki kwadratowe z   wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem   Zbiór   stanowi bazę tego rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci

 

dla pewnych   rzeczywistych.

Algebraiczna domkniętość edytuj

Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki   to otrzymane ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte – każdy wielomian o współczynnikach w   można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikach z   Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, domknięcie algebraiczne, liczby zespolone mogą być scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.

Charakteryzacja algebraiczna edytuj

Opisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłącznie algebraicznie. Ciało   jest scharakteryzowane z dokładnością do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:

Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że   zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z   (to samo jest prawdą dla   które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnić te podciała od samych ciał   i   wymagane są rozważania topologiczne.

Charakteryzacja topologiczna edytuj

Jak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja   nie dostarcza pewnych z jego najważniejszych własności topologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania analizy zespolonej, gdzie liczby zespolone badane są jako ciało topologiczne.

Następujące własności charakteryzują   jako ciało topologiczne[potrzebny przypis]:

  •   jest ciałem,
  •   zawiera podzbiór   niezerowych elementów spełniających:
    •   jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,
    • jeżeli   i   są różnymi elementami   to tak   jak i   należą do  
    • jeżeli   jest niepustym podzbiorem   to   dla pewnego  
  •   ma nietrywialny, będący inwolucją automorfizm   który dla ustalonego   spełnia własność, że   należy do   dla dowolnego niezerowego  

Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię, biorąc zbiory

  •  

jako bazę, gdzie   przebiega to ciało, a   przebiega  

Aby przekonać się, że te własności charakteryzują   jako ciało topologiczne, należy zauważyć, że   to ciało uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda, które może być w związku z tym utożsamiane z liczbami rzeczywistymi   poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniej własności łatwo wynika, że grupa Galois nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełnia charakteryzację.

Lew Pontriagin pokazał, że jedynymi spójnymi lokalnie zwartymi ciałami topologicznymi  oraz   Fakt ten umożliwia jeszcze jedną charakteryzację   jako ciała topologicznego, ponieważ   może być odróżnione od   poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są spójne w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.

Historia edytuj

 
Girolamo Cardano – pionier użycia liczb zespolonych

Istnienie pierwiastka kwadratowego liczby ujemnej było najprawdopodobniej po raz pierwszy rozważane w starożytności przez Herona z Aleksandrii[17]. Mimo to liczby zespolone wprowadził Girolamo Cardano w XVI wieku na potrzeby algebry[18]. Rozważał on istnienie pól o ujemnej wartości przy rozwiązywaniu równań sześciennych, inaczej trzeciego stopnia. Nazywał nowe liczby fikcyjnymi[19], a liczbę   jednostką urojoną, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku. Kartezjusz nadał im nazwę liczb urojonych w pracy wydanej w 1637[20].

Nowy typ liczb stał się przedmiotem i narzędziem algebry oraz analizy; pokazała ona związek między funkcją wykładniczą o urojonych argumentach z funkcjami trygonometrycznymi, przez co liczby zespolone stały się użyteczne w trygonometrii i jej zastosowaniach jak analiza harmoniczna[21]. Związek trygonometrii i analizy harmonicznej z opisem drgań, fal i sygnałów sprawił, że liczby zespolone zastosowano w różnych naukach empirycznych i technicznych[4] jak fizyka, elektrotechnika i elektronika. W XIX wieku powstał też dział matematyki oparty w całości na liczbach zespolonych – analiza zespolona, która również znalazła zastosowania w matematyce i poza nią[22]. Jednym z jej problemów jest hipoteza Riemanna wysunięta w XIX wieku, istotna dla analitycznej teorii liczb. Uznano to jedno z najdonioślejszych zagadnień całej matematyki, przez co znalazło się na liście 23 problemów Hilberta w 1900 roku oraz na liście siedmiu problemów milenijnych w roku 2000[23][24].

Po raz pierwszy pojęcie liczb zespolonych, jako składających się z części rzeczywistej oraz urojonej, wprowadził niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss w roku 1831[25] lub 1832[17]. Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru   z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona[potrzebny przypis].

Zastosowania edytuj

 
Wykres funkcji
 
wykonany za pomocą techniki kolorowania dziedziny. Odcień oznacza argument funkcji, zaś nasycenie reprezentuje jej moduł.

Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni rzeczywistej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.

Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w samej matematyce:

a także poza nią, w jej zastosowaniach:

Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

  1. W wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie.
  2. Istnieje też nieużywane powszechnie polskie oznaczenie szkolne:   formalnie odpowiadające zbiorowi liczb całkowitych, nie zaś zespolonych.

Przypisy edytuj

  1. a b Arganda diagram, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-03-27].
  2. a b Eric W. Weisstein, Complex Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-25].
  3. a b   Tomasz Miller, Potęgowanie i „najpiękniejszy wzór matematyki” | Zacznijmy od zera #4, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 23 listopada 2021 [dostęp 2024-03-26].
  4. a b c d e f g h i j liczby zespolone, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-03-26].
  5. logarytm, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-03-26].
  6. Eric W. Weisstein, Riemann Sphere, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-27].
  7. Cardano Gerolamo (Geronimo, Girolamo), [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-03-26].
  8. szereg Fouriera, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-03-26].
  9. Eric W. Weisstein, Complex Analysis, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-27].
  10.   Tomasz Miller, Czego uczy nas hipoteza Riemanna?, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-03-27].
  11.   Alex Kontorovich, The Riemann Hypothesis, Explained, kanał Quanta Magazine na YouTube, 4 stycznia 2021 [dostęp 2024-03-27].
  12. Eric W. Weisstein, Extension Field, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-27].
  13. Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 129.
  14. a b c d e f Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 492.
  15. Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 491.
  16. Górniewicz i Ingarden 2012 ↓, s. 482.
  17. a b Hargittai 1992 ↓, s. 153.
  18. Cardano Gerolamo (Geronimo, Girolamo), [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-03-26].
  19. Burton 1995 ↓.
  20. Descartes 2015 ↓, s. 380.
  21. szereg Fouriera, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-03-26].
  22. Eric W. Weisstein, Complex Analysis, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-27].
  23.   Tomasz Miller, Czego uczy nas hipoteza Riemanna?, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-03-27].
  24.   Alex Kontorovich, The Riemann Hypothesis, Explained, kanał Quanta Magazine na YouTube, 4 stycznia 2021 [dostęp 2024-03-27].
  25.   Complex number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-27].

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj

Polskojęzyczne

  Nagrania na YouTube [dostęp 2024-04-01]:

Anglojęzyczne

  Nagrania na YouTube [dostęp 2024-04-01]: