Otwórz menu główne

Ułamek

matematyczna reprezentacja części całości
Zobacz też: inne znaczenia.
W tych przegródkach znajduje się 7 gołębi. Jeden gołąb to jedna część z siedmiu – jedna siódma stadka, czyli nieco więcej niż 14% wszystkich.
Ciasto dzielimy na cztery części. Jedna część to ¼, czyli 25% całego ciasta – jeśli dodamy wszystkie cztery kawałki, uzyskamy całe ciasto.

Ułamek – wyrażenie postaci gdzie nazywane licznikiem, oraz nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz jest nieokreślony.

Liczby wymierneEdytuj

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np.   staje się  

Działania na ułamkachEdytuj

Dla każdego   ułamek   jest równy   Operację zamiany   na   nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:

  na przykład:  
 

Przedstawienie liczby   w postaci ułamka   prowadzi do wzorów:

 
 

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

 

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

 

Liczba   może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb   i  

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

 

Wzór:

  lub można skrócić na   gdzie         oraz  

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 0) lub ma postać   gdzie  

Przykład: Ułamek   jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Wyrażenia wymierneEdytuj

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamkówEdytuj

Osobny artykuł: ciało ułamków.

Dla każdego pierścienia całkowitego   (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Istotność założenia całkowitości pierścieniaEdytuj

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli   dla niezerowych   to

 

czyli

 

stąd zaś dla dowolnego

 

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa   a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

TypografiaEdytuj

Ten artykuł jest częścią serii
Historia oznaczeń
matematycznych

Symbol działania
+ i −
=
<, >, ≤, ≥,⩽, ⩾, ≦, ≧, ≠
znak nieskończoności
ułamki zwykłe
separator dziesiętny
moduł
znak epsilon


Według działów
matematyki

analiza matematyczna
rachunek różniczkowy i całkowy
logika
teoria grafów
teoria liczb


Stałe matematyczne

Edytuj szablon

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np.   jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np.  

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:

Nazwa Znak Unicode Kod HTML
Jedna czwarta ¼ U+00BC &#xBC; lub &#188;
Jedna druga ½ U+00BD &#xBD; lub &#189;
Trzy czwarte ¾ U+00BE &#xBE; lub &#190;
Jedna siódma U+2150 &#x2150; lub &#8528;
Jedna dziewiąta U+2151 &#x2151; lub &#8529;
Jedna dziesiąta U+2152 &#x2152; lub &#8530;
Jedna trzecia U+2153 &#x2153; lub &#8531;
Dwie trzecie U+2154 &#x2154; lub &#8532;
Jedna piąta U+2155 &#x2155; lub &#8533;
Dwie piąte U+2156 &#x2156; lub &#8534;
Trzy piąte U+2157 &#x2157; lub &#8535;
Cztery piąte U+2158 &#x2158; lub &#8536;
Jedna szósta U+2159 &#x2159; lub &#8537;
Pięć szóstych U+215A &#x215A; lub &#8538;
Jedna ósma U+215B &#x215B; lub &#8539;
Trzy ósme U+215C &#x215C; lub &#8540;
Pięć ósmych U+215D &#x215D; lub &#8541;
Siedem ósmych U+215E &#x215E; lub &#8542;
Jedna ... U+215F &#x215F; lub &#8543;

Zobacz teżEdytuj