Otwórz menu główne

Wymiar – minimalna liczba niezależnych parametrów potrzebnych do opisania jakiegoś zbioru. Zatem jest to liczba przypisana zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał w.=0, prosta w.=1, płaszczyzna w.=2 itd.

Spis treści

WstępEdytuj

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń – trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

Wymiar przestrzeni liniowejEdytuj

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej   wynosi   w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np.   w układzie trójwymiarowym – trzy współrzędne, np.  

Ponieważ przestrzeń   dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na co dzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych zachodzi naturalne utożsamienie:

 

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym   ma wymiar rzeczywisty   Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

Wymiar przestrzeni HilbertaEdytuj

Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku na ogół bez znaczenia.

Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej przestrzeni. Na przykład wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo  

Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest równy   to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.

Zobacz: przestrzeń Hilberta

Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)Edytuj

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią regularną. Mały wymiar indukcyjny przestrzeni   oznaczany symbolem   Mały wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określa się go za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1)   

(MU2)      (dla   ),  jeśli dla każdego punktu   oraz jego dowolnego otoczenia   istnieje zbiór otwarty   taki, że    oraz   

(MU3)     gdy   oraz nie zachodzi  

(MU4)   gdy dla żadnego     nie jest prawdą, że  

Uwaga  Od zbioru   można w warunku (MU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze   (definicja pozostanie równoważna).

HistoriaEdytuj

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia)Edytuj

Otrzymuje się go przez zastąpienie w definicji małego wymiaru indukcyjnego punktu przez zbiór domknięty:

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią normalną. Duży wymiar indukcyjny przestrzeni   oznaczany symbolem   Duży wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określony jest za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(DU1)   

(DU2)      (dla   ),  jeśli dla każdego zbioru domkniętego   oraz jego dowolnego otoczenia   istnieje zbiór otwarty   taki, że     oraz   

(DU3)     gdy   oraz nie zachodzi  

(DU4)    gdy dla żadnego     nie jest prawdą, że  

Uwaga Od zbioru   można w warunku (DU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze  

Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue’a (topologia)Edytuj

Dowolnej przestrzeni normalnej   można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue’a, który będziemy oznaczać   Wymiar   jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1 lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:

(CL1)
  jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni   można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde   zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.
(CL2)
  jeśli   ale nieprawda, że  
(CL3)
  jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby   nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.

Historia pojęciaEdytuj

Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue’a własności kostki n-wymiarowej.

Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze  ), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.

Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że dowolnie wybrane cztery prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby żadna z trójek prostokątów nie miała części wspólnej.

Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie stertę cegieł) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale musi istnieć taka czwórka prostopadłościanów, która ma niepuste przecięcie (w wyobrażonym obrazie sterty cegieł – każda cegła musi mieć punkt w którym styka się z trzema innymi cegłami).

Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć kostkami odpowiedniego wymiaru („cegiełkami”), ale dla pokryć dowolnymi zbiorami otwartymi. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue’a.

Wymiar rozmaitości topologicznejEdytuj

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią   Wtedy   jest wymiarem topologicznym rozmaitości.

Wymiar fraktalny, wymiar HausdorffaEdytuj

Istnieje więcej niż jedno pojęcie „wymiaru fraktalnego”. Najczęściej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane są też inne definicje. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

Równoważność definicji wymiaruEdytuj

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru:   są równoważne dla wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto   oraz   są równoważne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy   są równoważne dla przestrzeni zwartych. Przykłady pokazują, że ogólnie trzy klasyczne funkcje wymiaru są różne.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (względem zwykłej metryki euklidesowej) płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi

 


BibliografiaEdytuj

  • Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.