Otwórz menu główne

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych.

Spis treści

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią wektorową. Zbiór wektorów   nazywany jest bazą przestrzeni   gdy

Twierdzenie o warunkach równoważnych na bazę przestrzeni wektorowejEdytuj

Niech   będzie przestrzenią wektorową. Niech wektory   należą do tej przestrzeni.

Następujące warunki są równoważne:

  1.   to baza przestrzeni  
  2.   ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów  
  3.   to minimalny układ wektorów generujących  
  4.   to maksymalny układ liniowo niezależny[2].

Dowód[3]Edytuj

Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.

1 ⇒ 2Edytuj

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje   taki że:

 
 

Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki korzystając z własności przestrzeni wektorowej otrzymamy, że:

 

Stąd jasno wynika, że   (ponieważ układ   jest liniowo niezależny z definicji bazy), co doprowadza do sprzeczności.

2 ⇒ 3Edytuj

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go:  

Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:

 

Możemy jednak również wektor   zapisać jako:

 

Zauważmy jednak, że   Zatem wektor   został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów   co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora  

3 ⇒ 4Edytuj

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ   jest liniowo zależny.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że  

Weźmy dowolny wektor   Wtedy:

 

Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od   co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ   jest liniowo niezależny. Ponieważ układ   generuje całą przestrzeń   oraz   to:

 

Stąd wynika, że:

 

a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu  

4 ⇒ 1Edytuj

Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ   nie generuje przestrzeni wektorowej  

Zatem istnieje taki wektor   który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.

Rozważmy przypadek:

 

Gdyby   to   byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.

Gdyby   to równanie uprościłoby się do postaci

 

co z liniowej niezależności wektorów   spowoduje, że   a ponieważ   to układ   byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.

Definicja ogólnaEdytuj

Baza przestrzeni   to maksymalny, liniowo niezależny, podzbiór wektorów tej przestrzeni, tzn. jeśli nie można do niego dołączyć żadnego wektora przestrzeni   w taki sposób, aby otrzymany zbiór był liniowo niezależny[4][5][6].

PrzykładyEdytuj

  • Dany jest zbiór   wektorów w przestrzeni euklidesowej   Wektor   można przedstawić jako:
 
Wynika stąd, że   nie jest bazą przestrzeni  
Z drugiej strony, niech   i niech   będzie dowolnym wektorem   Szukając przedstawienia wektora   jako kombinacji liniowej wektorów zbioru   mamy:
  skąd   i  
Zatem przedstawienie wektora   jako kombinacji liniowej elementów zbioru   jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór   jest bazą przestrzeni  
  • Niech   oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór   jest bazą przestrzeni   przy czym   jest wektorem, który na  -tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.

Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z baząEdytuj

Niech   będzie bazą przestrzeni liniowej   Ponieważ każdy element   może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy  

 

gdzie:

  oraz   więc dla każdego   odwzorowanie  
  – współczynnik stojący przy   w zapisie   jako kombinacji liniowej elementów z  

jest liniowe (formalnie,   gdy   nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwozorwania   są elementami przestrzeni sprzężonej   i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą   Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy   jest zbiorem skończonym.

PrzykładEdytuj

Współrzędnymi wektora   w bazie   przestrzeni   są liczby   oraz  

Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach BanachaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią Banacha oraz niech   będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy   jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą  ciągłe i tworzą bazę przestrzeni   Gdy   jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z   jest ciągłych.

Dowód. Niech   będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha   Wówczas zbiór   też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami   i   różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą – bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z   ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały   są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu   z   Z zupełności przestrzeni   wynika, że suma szeregu
 
należy do   Niech   będzie ciągiem sum częściowych szergu   tj.
 
Z ciągłości   wynika, że
 
co prowadzi do sprzeczności bo   ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie   tj. zbiór   jest skończony. □

Istnienie bazyEdytuj

Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.

Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

Andreas Blass udowodnił w 1984[7], że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Wymiar przestrzeni liniowejEdytuj

H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne[8] (krótszy dowód został podany przez H.E. Lacey’a[9]). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum[10]

Przestrzenie euklidesoweEdytuj

Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów   nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora   w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Orientacja bazyEdytuj

Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. D. Farenick, Algebras of Linear Transformations, Springer 2001, s. 2.
  2. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s. 62, Twierdzenie 4.4.
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​; s.62-63, Twierdzenie 4.4 – dowód.
  4. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ​ISBN 83-232-1018-7​, s. 62, Definicja 4.5.
  5. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​, s. 94, Definicja 6.7.
  6. Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ​ISBN 978-83-01-15817-0​, s. 65–66, Definicja 5.1.
  7. A. Blass, Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31-33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
  8. H. Löwig, Über die Dimension linearen Räume, Studia Mathematica, 5 (1934), 18-23.
  9. H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. 80 (1973), 298.
  10. G.W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945), s. 155–207.