Otwórz menu główne

Przestrzeń Banacha

pojęcie matematyczne

Przestrzeń Banachaprzestrzeń unormowana (z normą || · || ), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka dana wzorem

jest zupełna. Zupełność metryki oznacza, że każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni jest zbieżny (do pewnego elementu przestrzeni ).

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe, stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w -tej potędze dla Norbert Wiener i Stefan Banach[1] zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet[2], honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej i matematyki w ogóle.

Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.

Spis treści

PrzykładyEdytuj

W dalszym ciągu symbol   oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiaroweEdytuj

Ciało   traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych   najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci

 

norma ta dana jest wzorem

 

Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

 

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

  • Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
  • Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonychEdytuj

Przestrzeń   wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa   z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

 

Ważnymi przykładami takich przestrzeni są   (przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym) czy   (przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej   z topologią porządkową).

Powyższą konstrukcję można uogólnić. Niech   będzie przestrzenią Banacha. Wówczas przestrzeń   wszystkich funkcji ciągłych   z normą

 

jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie     i  Edytuj

Osobny artykuł: przestrzeń c0.

Przestrzeń zwartą   powyżej można zastąpić dowolnym zbiorem   wymagając dodatkowo, by rozważane funkcje były ograniczone (nie zakłada się ciągłości), gdyż zbiór   nie ma wybranej żadnej topologii. Tak zdefiniowaną przestrzeń ograniczonych funkcji   oznacza się symbolem   Jest to również przestrzeń Banacha. Gdy   jest ciałem skalarów, to oznacza się tę przestrzeń krótko przez   bądź nawet   gdy   jest zbiorem liczb naturalnych.

Przestrzeń   jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią   funkcji ciągłych na   tj. na uzwarceniu Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie   i   ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni   Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni   jest jednak domknięta:

Przestrzeń  Edytuj

Niech

 

tzn.   jest takim ciągiem, który na  -tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem   oznacza się zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych ciągów   Innymi słowy elementami przestrzeni   są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń   jest podprzestrzenią liniową przestrzeni   ponieważ suma dwóch ciągów o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg

 

jest ciągiem Cauchy’ego punktów (ciągów) z przestrzeni   który jest zbieżny w przestrzeni   do ciągu

 

a zatem przestrzeń   nie jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie   przestrzenie LorentzaEdytuj

Dla ustalonego   oraz dowolnej przestrzeni z miarą (   ) przestrzeń   funkcji całkowalnych w  -tej potędze na   jest przestrzenią Banacha. Szczególną klasą przestrzeni tego typu są przestrzenie   ciągów sumowalnych w  -tej potędze na zbiorze   Ogólniej, przestrzenie Lorentza   i przestrzenie Orlicza są przestrzeniami Banacha.

Operatory liniowe ograniczoneEdytuj

Przestrzeń liniowa   wszystkich odwzorowań (inaczej operatorów) liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha   w przestrzeń Banacha   z normą

 

jest przestrzenią Banacha. Gdy   to norma operatorowa wyraża się wzorem

 

Przestrzeń   z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest algebrą Banacha z jedynką. W algebrze tej można wyróżnić następujące ideały:

oraz wiele innych. Wszystkie wymienione wyżej ideały, poza ideałem operatorów skończonego rzędu oraz ideałem operatorów Hilberta-Schmidta, są domknięte. Do klas operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha, które nie tworzą ideału zaliczają się

Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywneEdytuj

Jeżeli   jest przestrzenią unormowaną nad ciałem   liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że przestrzeń   wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na   jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznacza się symbolem   (czasem również  ) i nazywa przestrzenią sprzężoną do   Pojęcie przestrzeni sprzężonej pozwala na zdefiniowanie tzw. słabej topologii w   oznaczanej symbolem   tj. najsłabszej topologii względem której elementy przestrzeni   są ciągłe.

Przestrzeń   można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni   (przestrzeni sprzężonej do sprzężonej), przyporządkowując każdemu elementowi   przestrzeni   funkcjonał   dany wzorem

 

Dla każdego   tak określony funkcjonał   jest elementem przestrzeni   oraz odwzorowanie   jest izometrią. Gdy odwzorowanie   jest „na”, tj.   to przestrzeń   nazywa się przestrzenią refleksywną. Ponieważ   jest automatycznie przestrzenią Banacha, więc każda przestrzeń refleksywna – również, jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Szeregi i bazy w przestrzeniach BanachaEdytuj

Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność szeregów elementów przestrzeni. Mianowicie, przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni. W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne – nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych – szeregami warunkowo zbieżnymi. Zbiór liczb rzeczywistych (z normą „wartość bezwzględna”) jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, tzn.

 

podczas gdy szereg

 

jest rozbieżny.

Baza przestrzeni BanachaEdytuj

Niech   będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg   elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu   istnieje taki ciąg skalarów   że

 

Jeśli istnieje baza przestrzeni   to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.

 

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę, to jest ona ośrodkowa, ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granicą ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona).

Baza SchauderaEdytuj

Osobny artykuł: Baza Schaudera.

Niech   będzie ciągiem elementów przestrzeni   Jeśli istnieje taki ciąg   elementów przestrzeni sprzężonej   że

  1.   dla   oraz   dla  
  2. każdy element   można przedstawić jednoznacznie w postaci
 

to ciąg   nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni   natomiast ciąg   nazywany jest ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z  

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie, ponieważ obie definicje są równoważne w klasie przestrzeni Banacha – ciąg   jest bazą przestrzeni   wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej bazą Schaudera. Definicje te nie są na ogół równoważne w szerszych klasach przestrzeni liniowo-topologicznych.

Wymiar HamelaEdytuj

Osobny artykuł: baza (przestrzeń liniowa).

Baza Schaudera przestrzeni Banacha (o ile istnieje) nie jest bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich mocwymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma ona nieprzeliczalny wymiar Hamela. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum[3][4].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Stefan Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales. „Fundamenta Mathematicae”. 3 (1922). 
  2. Maurice Fréchet: Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l’Analyse générale. Paryż: Gauthier-Villars, 1928.
  3. G.W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945), 155-207.
  4. H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. ’80' (1973), 298.

BibliografiaEdytuj