Wikipedia

Operator zwarty

Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte[1]. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.

Dla operatora liniowego przekształcającego przestrzeń Banacha w następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów[1].

  1. domknięcie obrazu jest zwarte w dla każdego zbioru ograniczonego w (tj. jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji),
  2. domknięcie obrazu jest zwarte w gdzie oznacza kulę jednostkową w
  3. obraz jest całkowicie ograniczony w dla każdego zbioru ograniczonego w
  4. dla każdego ograniczonego ciągu punktów przestrzeni ciąg zawiera podciąg zbieżny[2].

Podstawowe fakty

edytuj

Dalej,     oznaczają ustalone przestrzenie Banacha.

  • Każdy operator zwarty   jest ograniczony (z uwagi na całkowitą ograniczoność obrazu kuli jednostkowej dziedziny operatora), a więc ciągły.
  • Z lematu Riesza wynika, że operator identycznościowy na   jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń   jest skończenie wymiarowa.
  • Operator zwarty ma domknięty obraz wtedy i tylko wtedy gdy obraz ten jest skończenie wymiarowy[3]. Rzeczywiście, każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni unormowanej jest domknięta, więc jeżeli operator ma skończenie wymiarowy obraz, to obraz ten jest domknięty. W przeciwną stronę, jeżeli   jest operatorem zwartym i obraz   jest domknięty, to jest on skończenie wymiarowy. Istotnie, domkniętość obrazu implikuje, że on sam jest przestrzenią Banacha. Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, operator   jest otwarty. Zakładając, że obraz   jest ponadto nieskończenie wymiarowy, otwartość   prowadzi to do sprzeczności ze zwartością, ponieważ obraz kuli jednostkowej   w   poprzez   nie może być wówczas warunkowo zwarty w   (a więc i także w  ).
  • Obraz każdego operatora zwartego   jest ośrodkowy[3][4].
  • Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym: operator liniowy   jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony   jest zwarty.
  • Widmo operatora zwartego na zespolonej przestrzeni Banacha jest co najwyżej przeliczalne i jego jedynym punktem skupienia może być 0[5][6]. Ponadto dla operatorów zwartych zachodzi alternatywa Fredholma[7].

Opis operatorów zwartych poprzez ciągi zbieżne do zera

edytuj

Dla danego operatora liniowego   między przestrzeniami Banacha następujące warunki są równoważne

1. operator   jest zwarty,
2. istnieje taki ciąg   zbieżny do 0 w   że dla wszelkich   zachodzi nierówność
 
3. istnieje zbieżny do zera ciąg liczb rzeczywistych   oraz taki ograniczony ciąg   w   że dla wszelkich   zachodzi nierówność
 
4. istnieje taka domknięta podprzestrzeń liniowa   przestrzeni c0, zwarty operator liniowy   oraz ograniczony operator liniowy   że  [8].

Równoważność warunków 1. i 2. została udowodniona w 1971 przez Terzioğlu[9]. Randke wykazał, że warunki 1. i 3. są równoważne[10].

Własności ideałowe

edytuj

Dla każdej przestrzeni Banacha   rodzina   złożona ze wszystkich operatorów zwartych na   tworzy domknięty ideał dwustronny algebry Banacha   wszystkich operatorów ograniczonych na  [11][12].

  • Algebra ilorazowa   nazywana jest algebrą Calkina przestrzeni   Twierdzenie Calkina mówi, że jeżeli   jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to   jest jedynym domkniętym nietrywialnym ideałem  [13].
  • Ideał operatorów zwartych jest jedynym ideałem maksymalnym w   w przypadku, gdy   jest przestrzenią c0 bądź   jest przestrzenią ℓp dla   Spiros A. Arjiros i Richard Haydon[14] podali przykład przestrzeni Banacha   z bazą Schaudera o tej własności, że przestrzeń sprzężona   jest izomorficzna z   oraz każdy operator ograniczony   na   jest postaci   gdzie   jest pewnym skalarem, a   jest operatorem zwartym na   Innymi słowy, ideał operatorów zwartych jest kowymiaru 1 w  

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. ↑ a b John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 2007, s. 41, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
  2. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 320.
  3. ↑ a b Megginson 1998 ↓, s. 321.
  4. ↑ Conway 2010 ↓, s. 181.
  5. ↑ Kreyszig 1989 ↓, s. 421.
  6. ↑ Kreyszig 1989 ↓, s. 432.
  7. ↑ Kreyszig 1989 ↓, s. 453–454.
  8. ↑ Wong 1992 ↓, s. 250–252.
  9. ↑ T. Terzioğlu, A characterization of compact linear mappings, Arch. Math. 22 (1971), 76–78.
  10. ↑ D. Randtke, Characterizations of precompact maps, Schwanz spaces and nuclear spaces, Trans. Amer. Math. 165 (1972), 87–101.
  11. ↑ Conway 2010 ↓, s. 178.
  12. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 322.
  13. ↑ J.W. Calkin. Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space. „Annals of Mathematics”. 42 (4), s. 839–873, Oct. 1941. DOI: 10.2307/1968771. JSTOR: 1968771. 
  14. ↑ S.A. Argyros, R.G. Haydon. A hereditarily indecomposable  -space that solves the scalar-plus-compact problem. „Acta Mathematica”. 206 (1), s. 1–54, 2011. DOI: 10.1007/s11511-011-0058-y. 

Bibliografia

edytuj
  • John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Wyd. Second Edition. New York: Springer-Verlag, 2010, seria: Graduate Texts in Mathematics 96. ISBN 1-4419-3092-2.
  • Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. New York, Basel, Hong-Kong: CRC Press, 1992, seria: Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-8779-0.
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Operator_zwarty&oldid=73855587”