Operator ściśle singularny
Operator ściśle singularny (operator Kato) – operator liniowy i ograniczony między przestrzeniami Banacha i o tej własności, że dla każdej skończenie wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni i dla każdej dodatniej liczby istnieje taki wektor o normie 1 należący do że
Mówiąc obrazowo, operator ściśle singularny, to taki operator ograniczony, który nie działa jako izomorfizm na żadnej domkniętej nieskończenie wymiarowej podprzestrzeni swojej dziedziny. Klasa operatorów ściśle singularnych została wyróżniona w 1958 roku przez Tosio Kato[1].
Rodzinę operatorów ściśle singularnych między przestrzeniami i oznacza się na ogół symbolem
(bądź gdy ).
Własności
edytuj- Zbiór jest domkniętym ideałem w algebrze wszystkich operatorów ograniczonych na Ideał ten zawiera ideał wszystkich operatorów zwartych. Jeżeli jest (niekoniecznie ośrodkową) przestrzenią Hilberta bądź (przestrzeń Lp)[2][3] bądź (przestrzeń c0) lub jest -tą przestrzenią Jamesa [4], to ideał operatorów ściśle singularnych na pokrywa się z ideałem operatorów zwartych. Istnieją przestrzenie Banacha dla których ideał jest ściśle większy od na przykład, przy [5].
- W przeciwieństwie do natury operatorów (słabo) zwartych, operator sprzężony do operatora ściśle singularnego nie musi być ściśle singularny[6] (por. twierdzenie Gantmacher).
- W.T. Gowers i B. Maurey podali jako pierwsi przykład nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha o tej własności, że każda podprzestrzeń komplementarna jest skończenie wymiarowa oraz każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni również ma tę własność[7] (tzw. dziedzicznie nierozkładalna przestrzeń Banacha lub przestrzeń HI). Każdy operator ograniczony na zespolonej przestrzeni HI może być zapisany w postaci gdzie jest pewnym skalarem, operatorem identyczności, a pewnym operatorem ściśle singularnym na
Przypisy
edytuj- ↑ T. Kato, Perturbation theory for nullity deficiency and other quantities of linear operators, J. Analyse Math. 6 (1958), s. 273–322.
- ↑ B. Gramsch, Eine Idealstruktur Banachscher Operatoralgebren, J. Reine Angew. Math. 225 (1967), s. 97–115.
- ↑ E. Luft, The two-sided closed ideals of the algebra of bounded linear operators of a Hilbert space, Czechoslovak Math. J. 18 (1968), s. 595–605.
- ↑ N.J. Laustsen, Maximal ideals in the algebra of operators on certain Banach spaces, Proc. Edinburgh Math. Soc. 45 (2002), s. 523–546.
- ↑ H. Porta, Factorable and strictly singular operators, I, Studia Math. 37 (1971), s. 237–243.
- ↑ S. Goldberg, E. Thorp, On some open questions concerning strictly singular operators, Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), s. 334–336.
- ↑ W.T. Gowers, B. Maurey, The unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math. Soc., 6 (1993), s. 851–874.
Bibliografia
edytuj- A. Pietsch, Operator ideals, North-Holland Math. Lib. 20, North-Holland, 1980.