Otwórz menu główne

Przestrzeń Hilberta

Przestrzeń Hilbertaprzestrzeń

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha (ściślej mówiąc, przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha z dodatkowym założeniem istnienia iloczynu skalarnego indukującego normę), przestrzenią Frécheta oraz lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną – ze względu na unormowanie i zupełność.

Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwiska Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku.

Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

Przykłady przestrzeni HilbertaEdytuj

Przestrzenie euklidesowe skończonego wymiaruEdytuj

(1) Należą tu np.

  1. zbiór liczb rzeczywistych nad ciałem liczb rzeczywistych, ze standardowym mnożeniem jako iloczynem skalarnym,
  2. zespolona przestrzeń euklidesowa nad ciałem liczb zespolonych z zespolonym iloczynem skalarnym (tzn. dodatnio określoną formą półtoraliniową).

Wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z równoważności metryk (bądź norm) na przestrzeniach liniowych wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

(2) W szczególności należą tu przestrzenie współrzędnych   i   z iloczynami skalarnymi danymi odpowiednio wzorami

 

gdzie:

  •     – wektory przestrzeni,
  •   oznacza sprzężenie zespolone liczby  

Norma indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem

 

zaś metryka od niej pochodząca wyraża się wzorem

 

przy czym jest ona zupełna.

Klasyczne przykłady przestrzeni HilbertaEdytuj

Przestrzenie   są szczególnymi przypadkami przestrzeni   gdyż   gdy   jest miarą liczącą na zbiorze  

Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Przestrzenie Hardy’ego znajdują zastosowania w analizie harmonicznej i analizie zespolonej.

Przestrzenie   oraz   są fundamentalne dla mechaniki kwantowej.

WłasnościEdytuj

SamosprzężonośćEdytuj

Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta   mówi, że każdemu elementowi   (tj. każdemu ciągłemu funkcjonałowi liniowemu na  ) odpowiada jednoznacznie taki element   że

 

Odwzorowanie

 

dane wzorem

 

jest antyliniowym izometrycznym izomorfizmem. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony   określony na przestrzeni unitarnej   można zapisać wzorem   dla pewnego   to   jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna).

RefleksywnośćEdytuj

Każda przestrzeń Hilberta   jest refleksywna, tj. odwzorowanie

 

dane wzorem

 

jest „na”.

Dówod. Z twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta) wynika, że istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm

 

Niech   będzie ustalonym elementem przestrzeni   Wówczas funkcjonał   dany wzorem

 

jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu   przestrzeni   oraz dowolnego   zachodzi:

 

a zatem

 

co oznacza, że odwzorowanie   jest „na”, więc przestrzeń   jest refleksywna.  

Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność – są one superrefleksywne.

OśrodkowośćEdytuj

Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające przeliczalny podzbiór gęsty) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta:

Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o ciężarze   jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią   w szczególności  

CharakteryzacjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym   nad ustalonym ciałem. Następujące stwierdzenia są równoważne:

1.   jest przestrzenią Hilberta;
2. każda domknięta podprzestrzeń liniowa   przestrzeni   ma własność najmniejszej odległości:
dla każdego   istnieje taki element   że
 
przy czym   oznacza rzut na podprzestrzeń  
3.   ma własność rozkładu ortogonalnego:
dla każdej domkniętej podprzestrzeni   przestrzeni   zachodzi
  4.   ma własność reprezentacji Riesza:
dowolny ciągły funkcjonał liniowy na   jest postaci   dla pewnego  

Poszczególne implikacje mają swoje nazwy:

  to twierdzenie o najlepszej aproksymacji (o zbiorze wypukłym),
  to twierdzenie o rzucie ortogonalnym,
  to twierdzenie Riesza o reprezentacji;

równoważność   jest treścią lematu do twierdzenia o rzucie ortogonalnym.

Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości zbalansowanych zbiorów wypukłych i funkcjonałów liniowych oraz reguły równoległoboku charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród przestrzeni Banacha (por. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie[1]. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego.

Suma prosta przestrzeni HilbertaEdytuj

Suma prosta dwóch przestrzeni HilbertaEdytuj

(1) Jeżeli   są przestrzeniami Hilberta, to ich sumą prostą   nazywa się przestrzeń Hilberta, która

  • jest sumę prostą przestrzeni  
  • ma iloczyn skalarnym danym wzorem,
 
gdzie:
 
 
 

tzn. iloczyn skalarny wektorów sumy prostej jest równy sumie iloczynów skalarnych obliczonych między wektorami odpowiednich przestrzeni Hilberta.

(2) Norma elementów sumy prostej dana jest wzorem

 

Norma (długość) wektora sumy prostej jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.

Uwaga:

Suma prosta przestrzeni Hilberta różni się od sumy prostej przestrzeni liniowych tym, że ma dodatkowo zdefiniowany iloczyn skalarny.

Suma prosta przeliczalnej rodziny przestrzeni HilbertaEdytuj

Dla dowolnej, przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta   indeksowanej elementami zbioru   sumą prostą

 

nazywa się przestrzeń Hilberta utworzoną ze wszystkich funkcji   na zbiorze   taką że spełnione są warunki:

  •   dla każdego  
  • zbiór   jest przeliczalny,
  •  

wyposażoną w normę

 
gdzie  

Norma (długość) wektora sumy prostej przeliczalnej liczby przestrzeni Hilberta jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. O.N. Kosukhin. A geometric criterion for the Hilbert property of a Banach space. „Moscow University Mathematics Bulletin”. 63 (5), s. 205–207, 2008. Allerton Press, Inc.. DOI: 10.3103/S0027132208050070. ISSN 0027-1322 (ang.). 

BibliografiaEdytuj