Otwórz menu główne

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   Przekształcenie   nazywa się formą liniową (funkcjonałem liniowym, kowektorem), jeżeli jest ona

  • jednorodna,
     
  • addytywna,
     

równoważnie można powiedzieć, że jest liniowa, tj. spełnia

 

Przykład: Funkcjonały liniowe w RnEdytuj

Niech wektory przestrzeni rzeczywistej   są reprezentowane jako wektory kolumnowe

 

Wtedy każdy funkcjonał liniowy   postaci

 

można wyrazić w postaci wektora wierszowego   Działanie funkcjonału na wektor można wyrazić jako mnożenie skalarne wektora   przez wektor  

 

Przykładowy funkcjonałEdytuj

Funkcjonał   dany jest wzorem

 

Funkcjonał ten można przedstawić za pomocą wektora wierszowego, tj.

 

a wektory przestrzeni   za pomocą wektorów kolumnowych

 

Przestrzeń liniowa funkcjonałówEdytuj

Zbiór wszystkich funkcjonałów   tworzy przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych, gdyż dla dowolnych funkcjonałów   dowolna kombinacja liniowa

 

jest funkcjonałem   przy czym   są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń metryczna funkcjonałówEdytuj

Działania na funkcjonałach można zastąpić działaniami na wektorach wierszowych i np. zdefiniować iloczyn skalarny funkcjonałów za pomocą iloczynu skalarnego odpowiadających im wektorów wierszowych. W ten sposób przestrzeń funkcjonałów staje się przestrzenią metryczną, z metryką (odległością) generowaną przez iloczyn skalarny

 

Wymiar przestrzeni z przykładu jest równy 3: jest tak dlatego, że dowolny funkcjonał można przedstawić w bazie trzech liniowo niezależnych funkcjonałów; odpowiadają im trzy liniowo niezależne wektory wierszowe; jako bazę wybiera się standardowo funkcjonały reprezentowane przez wektory postaci

 

które są wzajemnie ortogonalne, przy tym wektorom   odpowiadają funkcjonały   dane wzorami:

 
 
 

Przestrzeń dualna. KowektoryEdytuj

Wymiar przestrzeni funkcjonałów jest tu równy 3 – czyli jest równy wymiarowi przestrzeni, na jakiej funkcjonały działają. Silna zależność przestrzeni funkcjonałów od przestrzeni, na jakiej działają, powoduje, że przestrzeń tę nazywa się przestrzenią dualną lub sprzężoną do   i oznacza   w podanym przykładzie przestrzeń dualna jest przestrzenią rzeczywistą, tj.   elementy przestrzeni dualnej nazywa się kowektorami.

Zauważmy, że podane wyżej kowektory   odpowiadające funkcjonałom   są unormowane do 1, jeżeli jako normę wprowadzi się standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni dualnej   Bazę tak unormowaną nazywa się bazą dualną ortonormalną.

Całkowanie jako funkcjonałEdytuj

Funkcjonały liniowe pojawiły się po raz pierwszy w analizie funkcjonalnej, która bada przestrzenie wektorowe funkcji, a typowym przykładem funkcjonału liniowego jest całkowanie.

Przykład:

Całka Riemanna jest funkcjonałem z przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale [ab] na zbiór liczb rzeczywistych,   danym wzorem

 

Liniowość funkcjonału całkowego wynika z podstawowych własności całki:

 
 

Własności funkcjonałówEdytuj

Każda forma liniowa jest albo trywialna (równa zeru dla każdego wektora) albo „na” (ciało skalarów), co wynika wprost z uwagi, iż   może być traktowana jako jednowymiarowa przestrzeń liniowa – jej jedynymi podprzestrzeniami są podprzestrzeń trywialna   lub niewłaściwa   Formy liniowe o tym samym jądrze są proporcjonalne.

Forma liniowa jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej jądro jest domknięte. Wartość bezwzględna dowolnej formy liniowej jest półnormą na przestrzeni liniowej, na której została określona.

Przestrzeń funkcjonałówEdytuj

Zbiór   wszystkich form liniowych   z przestrzeni   na ciało   tworzy przestrzeń liniową (por. przestrzeń funkcyjna) z działaniami dodawania form liniowych,   i mnożenia przez skalary,   jeżeli   jest wektorem przestrzeni   a   jest skalarem w   to

 

oraz

 

Przestrzeń   nazywa się przestrzenią dualną (lub sprzężoną) do przestrzeni   i oznacza symbolem   W przypadku, gdy   jest przestrzenią liniową nieskończonego wymiaru (z dodatkową strukturą topologiczną, tj. przestrzenią liniowo-topologiczną) daleko bardziej produktywne bywa ograniczenie się do podprzestrzeni   wszystkich tych form liniowych, które są ciągłe (zob. operator liniowy nieciągły).

Jeśli   jest skończeniewymiarowa, to   gdyż wszystkie formy liniowe są wtedy ciągłe; a ponadto przestrzenie   oraz   są równego wymiaru, co oznacza, iż są one izomorficzne (jako izomorficzne z tymi samymi przestrzeniami współrzędnych). Utożsamienie przestrzeni liniowej z jej przestrzenią dualną za pomocą formy dwuliniowej bądź formy półtoraliniowej (szczególnie, gdy ciałem skalarów są liczby rzeczywiste lub zespolone) umożliwia zdefiniowanie na niej geometrii. Np. standardowym sposobem tego rodzaju utożsamienia jest wprowadzenie iloczynu skalarnego. Ten naturalny krok tłumaczy alternatywną nazwę form liniowych: „kowektor”. Kowektory danej przestrzeni mają nieco inne własności niż wektory (zob. dualność i iloczyn skalarny w przestrzeniach współrzędnych).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.