Moduł (matematyka)

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: moduł liczby, moduł w teorii modeli.

Modułstruktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

MotywacjaEdytuj

Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; wynikało to z następujących dwóch obserwacji, które doprowadziły ostatecznie do przyjęcia współcześnie stosowanej definicji:

  • Dowolną grupę abelową   można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując   dla wszystkich   ten pierścień zerowy (jak każdy pierścień tego rodzaju) nie ma jedynki. W ten sposób każda podgrupa grupy   jest ideałem pierścienia  
  • Niech   będzie pierścieniem przemiennym,   jego podpierścieniem. Niepusty podzbiór   zbioru   o własnościach: (a) jeśli   to   (b) jeśli   oraz   to   nazywa się  -modułem w   Dowolny ideał w   jest  -modułem; w szczególności ideały   są dokładnie tymi podzbiorami   które są  -modułami (zob. Przykłady).

O ile chodzi tylko o elementy   w tak zdefiniowanym pojęciu modułu wykorzystywane jest jedynie dodawanie; mnożenie ma miejsce tylko między elementami   oraz  

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie pierścieniem z jedynką. Modułem (lewostronnym) nad   nazywa się taką strukturę algebraiczną   że

  •   jest grupą abelową,
  • funkcja   spełnia dla wszystkich   oraz   następujące warunki:
 
(1)
 
(2)
 
(3)
 
(4)

przy czym   oznacza jedynkę pierścienia  

Działanie pierścienia na grupieEdytuj

Jeżeli przyjąć   oraz rozpatrywać funkcję   to pierwszy aksjomat mówi w istocie, że odwzorowania  homomorfizmami grupowymi   zaś trzy pozostałe zapewniają, że   jest homomorfizmem pierścienia   w pierścień endomorfizmów   Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.

RodzajeEdytuj

Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub   Prawostronny  -moduł   lub   definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. mnożenie przez skalar jest odwzorowaniem   z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami   po prawej stronie elementów   Tę samą strukturę można otrzymać, zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek (3) przez

 
(3')

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych – jeśli   jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad   to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad   gdzie symbol   oznacza pierścień przeciwny do   tzn. zbiory   i   są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli   jest działaniem mnożenia dla   to   określa mnożenie w   W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były unitarne), pomijają czwarty aksjomat powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „unitarnymi modułami lewostronnymi” (bądź modułami lewostronnymi z jedynką). W tym artykule jednak, przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Gdy   jest pierścieniem przemiennym, to warunki (3) i (3') są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad   Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.

Podmoduły i homomorfizmyEdytuj

Zobacz też: Prawo modularności.

Niech   będzie lewostronnym  -modułem, a   podgrupą w   Wtedy   jest podmodułem (lub dokładniej:  -podmodułem), jeżeli

 

dla wszystkich   oraz  

Zbiór podmodułów danego modułu   wraz z dwoma działaniami dwuargumentowymi: dodawaniem kompleksowym   oraz przekrojem zbiorów   jest kratą spełniające następujące prawo modularności:

dla danych podmodułów   modułu   takich, że   zachodzi równość podmodułów:  

Niech   i   będą lewostronnymi  -modułami. Przekształcenie   jest homomorfizmem  -modułów, jeżeli dla dowolnych   oraz   zachodzi

 

Tak jak jakikolwiek inny homomorfizm struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. Bijektywny homomorfizm modułów jest ich izomorfizmem, które nazywane są przy tym przekształceniu izomorficznymi. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.

Jądro homomorfizmu modułów   jest podmodułem   składającym się ze wszystkich elementów przekształcanych przez   na zero. Twierdzenie o izomorfizmie znane z teorii grup i przestrzeni liniowych zachodzi również dla  -modułów.

Lewostronne  -moduły z ich homomorfizmami tworzą kategorię oznaczaną   Jest to kategoria abelowa.

PrzykładyEdytuj

Grupa abelowa
Jeśli   jest grupą abelową (w zapisie addytywnym), to   jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych   Iloczyn (lewostronny) elementu   przez skalar   zdefiniowany jest jako
 
Podmoduły modułów tego rodzaju są podgrupami grupy  
Przestrzeń liniowa
Jeśli   jest przestrzenią liniową nad ciałem   to   jest modułem nad   z odwzorowaniem strukturalnym   gdzie   Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem   jest przestrzenią liniową nad   Podmodułami przestrzeni liniowych są podprzestrzenie liniowe.
Ideał
Jeśli   jest (lewostronnym) ideałem pierścienia   to   jest także modułem (lewostronnym) nad   (gdzie mnożenie przez skalary jest mnożeniem w pierścieniu  ).
Moduł nad pierścieniem wielomianów
Niech   oznacza przestrzeń liniową nad ciałem   zaś   będzie przekształceniem liniowym. Wtedy   jest modułem nad pierścieniem wielomianów   z działaniem   moduł ten oznacza się czasem symbolem   Podmoduły w   to podprzestrzenie niezmiennicze względem  
Moduł nad pierścieniem endomorfizmów
Przestrzeń liniowa   nad ciałem   jest modułem nad swoim pierścieniem endomorfizmów   z działaniem mnożenia danym jako ewaluacja endomorfizmu   na wektorze   tzn. zdefiniowanym wzorem  

Moduł półprostyEdytuj

Sumę minimalnych nietrywialnych podmodułów modułu   nad pierścieniem   oznacza się   (od ang. socle, dosł. cokół), bądź krócej  

W szczególności moduł jest półprosty (całkowicie przywiedlny) wtedy i tylko wtedy, gdy   Składa się on dokładnie z tych elementów, które są anihiliowane przez radykał  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. T. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 88n, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Serge Lang: Algebra. Ryszard Bittner (tłum.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 92.
  • Witold Więsław: Grupy, pierścienie, ciała. Wrocław: Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, 1977, s. 284.
  • Jacek Komorowski: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 19.