Otwórz menu główne

Podpierścieńpodzbiór pierścienia sam będący pierścieniem ze względu na działania indukowane z pierścienia wyjściowego. Dokładne znaczenie pojęcia zwykle wynika z kontekstu: zwykle wymaga się, by podpierścień był obiektem tej samej kategorii co pierścień, a wszystkie odstępstwa najczęściej są zaznaczane. W ten sposób od podpierścieni pierścienia z jedynką wymaga się często, aby same miały jedynkę (choć nie jest to regułą). Niemniej niektóre własności są dziedziczne, np. przemienność czy brak dzielników zera (tzn. podpierścienie pierścienia przemiennego są przemienne, podobnie zachowywany jest brak dzielników zera).

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie pierścieniem. Podzbiór   zbioru   jest podpierścieniem pierścienia   jeżeli jest on zamknięty ze względu na działania     i element przeciwny   względem   tzn. dla dowolnych elementów   zachodzi

 

oraz

 

Równoważnie podpierścieniem pierścienia   nazywa się algebrę ogólną   gdzie   przy czym   oraz   oznaczają zawężenia działań pierścienia   do zbioru  

Uwaga
Podzbiór   nie może być pusty, ponieważ   musi być podgrupą   zatem musi zawierać element neutralny dodawania (zero).

Związek z ideałamiEdytuj

Ideał właściwy nie może być podpierścieniem, jeśli wymaga się, by miał jedynkę, gdyż musiałby być on wtedy całym pierścieniem. Przykładowo, ideały w   są postaci   gdzie   jest liczbą całkowitą. Są one podpierścieniami wtedy i tylko wtedy, gdy   (w innych przypadkach nie zawierają jedynki), kiedy to są całym  

Jeżeli pominąć wymaganie, aby pierścienie miały jedynkę, to podpierścienie muszą zawierać wyłącznie zero oraz być zamknięte ze względu na odejmowanie i mnożenie – w ten sposób ideały stają się podpierścieniami. Ideały mogą, ale nie muszą mieć własnej jedynki (różnej od jedynki pierścienia):

  • ideał   pierścienia   z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych ma jedynkę   która jest różna od jedynki   pierścienia. W ten sposób   jest pierścieniem z jedynką, a zarazem „podpierścieniem bez jedynki” pierścienia  
  • ideały właściwe   (np. liczby parzyste  ) nie mają jedynki.

PrzykładyEdytuj

  • W ciele (pierścieniu) liczb rzeczywistych istnieje podpierścień izomorficzny z ciałem (pierścieniem) liczb wymiernych.
  • Podobnie w pierścieniu liczb wymiernych istnieje podpierścień izomorficzny z pierścieniem liczb całkowitych.
  • Jeśli   jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to   jest podpierścieniem ciała liczb zespolonych.

BibliografiaEdytuj

  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka. ISBN 83-7469-189-1.